Tâm đối xứng của đồ thị hàm số | Công thức và cách tìm

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm mà phép đối xứng qua đó biến đồ thị thành chính nó. Xác định đúng tâm đối xứng giúp học sinh đọc, vẽ đồ thị và giải bài tập về hàm số bậc ba, hàm phân thức trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức.

Bài viết hệ thống khái niệm, công thức và cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba, bậc nhất trên bậc nhất, bậc hai trên bậc nhất; đồng thời phân biệt trục đối xứng và tâm đối xứng, kèm ví dụ và bài tập có lời giải.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gì?

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \((C)\). Điểm \(I(a; b)\) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số \((C)\) nếu với mọi điểm \(M\) thuộc \((C)\), điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) qua \(I\) cũng thuộc \((C)\). Điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) qua \(I\) nghĩa là \(I\) là trung điểm của đoạn \(MM'\). Do đó, nếu \(M(x_1;y_1)\) thì ta có \(M'(2a-x_1;2b-y_1)\).

Điểm \(I(a;b)\) là tâm đối xứng khi tập xác định D đối xứng qua a và thỏa mãn:

\[f(a+t)+f(a-t)=2b\]

với mọi t sao cho \(a+t\in D\). Tính đối xứng của tập xác định đòi hỏi \(a+t\in D\Longleftrightarrow a-t\in D\); không chỉ kiểm tra tổng trên những cặp điểm tình cờ cùng thuộc D.

Chứng minh điều kiện: Lấy điểm \(M(a + x; f(a + x))\) bất kỳ thuộc đồ thị. Điểm đối xứng của \(M\) qua \(I(a; b)\) có hoành độ \(a - x\) và tung độ \(2b - f(a + x)\). Điểm này thuộc đồ thị khi và chỉ khi \(f(a - x) = 2b - f(a + x)\), tức là \(f(a + x) + f(a - x) = 2b\).

Lưu ý: Tập xác định đối xứng chỉ là điều kiện cần. Chẳng hạn, \(y=2^x\) xác định trên \(\mathbb{R}\), nhưng \(2^{a+t}+2^{a-t}\) phụ thuộc vào t nên không thể luôn bằng hằng số 2b. Vì vậy đồ thị này không có tâm đối xứng.

Ví dụ tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Ví dụ (đồ thị hàm số có tâm đối xứng): Chứng minh \(I(1; 2)\) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = (x - 1)^3 + 2\).

Lời giải:

Ta có: \(f(1 + x) = x^3 + 2\) và \(f(1 - x) = (-x)^3 + 2 = -x^3 + 2\). Suy ra \(f(1 + x) + f(1 - x) = 4 =2\times2\) với mọi \(x\). Vậy \(I(1; 2)\) là tâm đối xứng của đồ thị.

Ví dụ (đồ thị hàm số không có tâm đối xứng): Điểm \(O(0; 0)\) có phải là tâm đối xứng của đồ thị \(y =x^2\) không?

Lời giải:

Ta có \(f(t)+f(-t)=2t^2\), không luôn bằng 0 nên O không phải tâm đối xứng. Tổng quát, với một điểm I(a;b) bất kỳ, \(f(a+t)+f(a-t)=2a^2+2t^2\) vẫn phụ thuộc vào t. Do đó parabol \(y=x^2\) không có tâm đối xứng; trục đối xứng của nó là Oy.

Các bước kiểm tra tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Từ định nghĩa, ta có ba bước để kiểm tra một điểm \(I(a; b)\) có phải là tâm đối xứng hay không:

• Bước 1: Kiểm tra tập xác định có đối xứng qua hoành độ \(a\) hay không (nếu \(a + x\) thuộc tập xác định thì \(a - x\) cũng thuộc).

• Bước 2: Tính \(f(a + x)\) và \(f(a - x)\) rồi cộng hai kết quả.

• Bước 3: Nếu tổng luôn bằng 2b thì I(a;b) là tâm; nếu tổng phụ thuộc vào biến hoặc là hằng số khác 2b thì điểm I đã cho không phải tâm.

Nếu đã kiểm tra tập xác định đối xứng qua a và tổng trên bằng hằng số c thì tâm là \(I\left(a;\frac{c}{2}\right)\).

Ý nghĩa hình học tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Phép quay 180° quanh tâm đối xứng

Về mặt hình học, có thể hình dung phép quay \(180^\circ\) của đồ thị quanh điểm \(I\); nếu đồ thị bất biến (trùng khít với chính nó) qua phép quay này thì \(I\) chính là tâm đối xứng.

Nhìn từ \(I\) ra hai phía, hai bên đồ thị có hình dạng “ngược nhau” hoàn toàn. Nhờ vậy, khi vẽ đồ thị, bạn chỉ cần vẽ một bên của tâm đối xứng, bên còn lại lấy đối xứng qua điểm \(I\). Chẳng hạn, với \(y=x^{3}\), nhánh bên phải gốc \(O\) đi lên, nhánh bên trái gốc \(O\) đi xuống, và hai nhánh này đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

Trong hệ tọa độ, phép đối xứng qua tâm \(I(a; b)\) biến điểm \(M(x; y)\) thành \(M'(2a - x; 2b - y)\). Riêng với tâm là gốc \(O\) thì \(M(x; y)\) biến thành \(M'(-x; -y)\), nghĩa là đổi dấu cả hoành độ lẫn tung độ.

Ví dụ, trên đồ thị \(y=(x-1)^3+2\), hai điểm M(2;3) và M′(0;1) đối xứng nhau qua I(1;2). Đây là minh họa; để chứng minh I là tâm, vẫn phải kiểm tra với mọi điểm hoặc dùng điều kiện đại số đã nêu.

Tâm đối xứng có nằm trên đồ thị không?

Tâm đối xứng có thể thuộc hoặc không thuộc đồ thị. Với hàm bậc ba, tâm là điểm uốn nên thuộc đồ thị. Với hàm phân thức bậc nhất hoặc bậc hai trên bậc nhất không rút gọn được, tâm nằm trên tiệm cận đứng nên không thuộc đồ thị.

Phân biệt tâm đối xứng và trục đối xứng

Hai khái niệm này rất dễ bị nhầm lẫn, ta cần hiểu rõ hai khái niệm:

• Tâm đối xứng là một điểm. Đối xứng qua điểm giống như xoay đồ thị \(180^\circ\) quanh điểm đó, với điều kiện \(f(a + x) + f(a - x) = 2b\).

• Trục đối xứng là một đường thẳng. Đối xứng qua đường thẳng giống như gấp đôi tờ giấy theo đường đó. Chẳng hạn, đồ thị nhận đường thẳng \(x = a\) làm trục đối xứng khi \(f(a + x) = f(a - x)\).

Một vài ví dụ giúp học sinh phân biệt:

• Hàm bậc ba: có tâm đối xứng nhưng không có trục đối xứng.

• Hàm bậc hai (parabol): có trục đối xứng \(x =\dfrac{-b}{2a}\) nhưng không có tâm đối xứng.

• Hàm trùng phương \(y = ax^4 + bx^2 + c\): có trục đối xứng là trục \(Oy\), không có tâm đối xứng.

• Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất: có một tâm đối xứng và hai trục đối xứng.

Cách nhận biết: Với tâm đối xứng thì khi quay \(180^\circ\) đồ thị sẽ trùng với chính nó, còn với trục đối xứng thì khi gấp đôi theo trục đó hai nửa đồ thị sẽ hoàn toàn chồng khít lên nhau.

Bảng sau giúp học sinh so sánh hai khái niệm một cách có hệ thống:

Lưu ý: Một đồ thị có thể có cả hai loại đối xứng. Chẳng hạn, \(y =\dfrac{1}{x}\) có tâm đối xứng \(O(0; 0)\) và hai trục đối xứng \(y = x, y = -x\).

Trường hợp đặc biệt: hàm số lẻ

Hàm số \(y = f(x)\) là hàm số lẻ khi có tập xác định đối xứng qua 0 và thỏa mãn \(f(-x) = -f(x)\) với mọi \(x\).

• Bản chất hình học: Từ định nghĩa trên, ta suy ra \(f(x) + f(-x) = 0\). Viết dưới dạng tọa độ trung điểm, ta có \(f(0 + x) + f(0 - x) = 2 \cdot 0\). Đẳng thức này chứng minh đồ thị của mọi hàm số lẻ luôn nhận gốc tọa độ \(O(0; 0)\) làm tâm đối xứng.

• Dấu hiệu nhận biết nhanh: Với hàm đa thức bậc ba \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\), nó là hàm số lẻ khi không chứa các số hạng bậc chẵn và hệ số tự do (tức là \(b = 0\) và \(d = 0\)).

• Ví dụ quen thuộc: \(y = x\), \(y = x^3\), \(y = x^3 - 3x\), \(y = \frac{1}{x}\).

Cách kiểm tra một hàm số có lẻ hay không

Trước hết kiểm tra tập xác định đối xứng qua 0. Sau đó thay x bằng −x; nếu \(f(-x)=-f(x)\) với mọi x thuộc tập xác định thì hàm số là hàm lẻ.

• Ví dụ 1 (là hàm lẻ): Với \(f(x) = x^3 - 3x\). Ta có: \(f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)\). Như vậy, đây là hàm số lẻ, và đồ thị nhận gốc tọa độ\(O(0; 0)\) làm tâm đối xứng.

• Ví dụ 2 (không lẻ): Với \(f(x) = x^3 - 3x + 2\). Ta có: \(f(-x) = -x^3 + 3x + 2\). Kết quả này hoàn toàn khác \(f(x)\) và cũng khác \(-f(x)\). Như vậy, đây không phải là hàm số lẻ. Tâm đối xứng của nó (nếu có) chắc chắn không nằm ở gốc \(O\).

Ý tưởng tịnh tiến: Khi tâm đối xứng nằm ngoài gốc tọa độ \(O\)

Nếu đồ thị không nhận \(O(0; 0)\) làm tâm đối xứng, nó có thể là phiên bản "dịch chuyển" của một hàm số lẻ.

Phân tích ví dụ: Hàm số \(y = x^3 - 3x + 2\) ở trên thực chất chính là hàm số lẻ \(y = x^3 - 3x\) được cộng thêm 2. Nghĩa là đồ thị đã bị đẩy thẳng đứng lên trên 2 đơn vị.

Kết quả: Kéo theo đó, tâm đối xứng cũng dịch chuyển từ gốc \(O(0; 0)\) lên điểm mới là \(I(0; 2)\). Ý tưởng "đưa về hàm lẻ gốc" này là cơ sở cho phương pháp đổi trục tọa độ dưới đây.

Phương pháp đổi trục tọa độ

Đây là một phương pháp hữu ích khi dùng để tìm hoặc chứng minh một điểm \(I(a; b)\) bất kỳ là tâm đối xứng của đồ thị \(y = f(x)\).

Nguyên tắc áp dụng: Đồ thị nhận \(I(a; b)\) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi: Nếu ta dời gốc tọa độ về điểm \(I\), hàm số ban đầu sẽ biến thành một hàm số lẻ.

Các bước đổi trục tọa độ

Bước 1 (Đặt ẩn phụ tịnh tiến): Đặt ẩn mới biểu diễn khoảng cách đến tâm \(I\left(a;b\right)\): \(X = x - a\) và \(Y = y - b\).

Bước 2 (Lập hàm số mới): Thay \(x\) và \(y\) vào hàm số ban đầu \(y = f(x)\): \(Y + b = f(X + a) \Rightarrow Y = f(X + a) - b\) . Khai triển rút gọn vế phải, ta được hàm số mới \(Y = g(X)\) theo biến \(X\) và chứa các tham số \(a, b\).

Bước 3 (Đặt điều kiện hàm số lẻ): Để \(I(a; b)\) là tâm đối xứng thì hàm số \(Y = g(X)\) bắt buộc phải là hàm số lẻ. Đối với hàm đa thức, một hàm số là hàm lẻ khi và chỉ khi nó không chứa các số hạng bậc chẵn (\(X^2, X^4...\)) và không có hệ số tự do. Tức là toàn bộ hệ số của các phần tử bậc chẵn và hệ số tự do phải bằng \(0\).(Hoặc dùng định nghĩa gốc: \(g(-X) + g(X) = 0\) với mọi \(X\)).

Bước 4 (Giải hệ phương trình tìm a, b): Từ điều kiện ở Bước 3, học sinh giải điều kiện hàm lẻ để tìm ra \(a\) và \(b\).

Ví dụ: Tìm tâm đối xứng của hàm số \(y = (x - 1)^3 + 2\).

1. Đặt \(X=x-a\) và \(Y=y-b\). Khi đó \(Y=(X+a-1)^3+2-b\).

2. Khai triển: \[Y=X^3+3(a-1)X^2+3(a-1)^2X+(a-1)^3+2-b\]

3. Để hàm mới là hàm lẻ, hệ số của \(X^2\) và hệ số tự do phải bằng 0. Suy ra \(a=1\) và \(b=2\).

Kết luận: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = (x - 1)^3 + 2\) là điểm \(I(1; 2)\).

Nhận xét thêm: Khi thay ngược \(a = 1, b = 2\) vào phương trình rút ra ở Bước 2, ta sẽ thấy hàm số mới trở thành \(Y = X^3\). Đây là một hàm số lẻ cơ bản hay gặp. Điều này cũng chứng minh rằng khi ta tịnh tiến điểm \(I(1; 2)\) về gốc tọa độ \(O(0; 0)\) thì đồ thị sẽ trở thành đồ thị hàm lẻ \(y = x^3\).

Nhận diện tâm đối xứng bằng phép tịnh tiến

Nếu học sinh nhận ra hàm số đề bài được xây dựng dựa trên "bộ khung" của một hàm số lẻ quen thuộc (như \(y = x^3\), \(y = \frac{1}{x}\), \(y = x^3 - 3x\)), bạn có thể tìm ngay tâm đối xứng mà không cần tính toán đổi trục phức tạp.

Nếu f là hàm lẻ trên tập xác định đối xứng qua 0 thì đồ thị \(y=f(x-a)+b\) nhận I(a;b) làm tâm đối xứng. Chỉ đọc tọa độ theo dạng này sau khi đã xác định đúng hàm lẻ gốc; không áp dụng quy tắc đổi dấu cho một biểu thức bất kỳ.

Một số ví dụ minh họa:

• Ví dụ 1 (Nhận diện hàm bậc 3): Cho hàm số \(y=(x-3)^3+4\). Tìm tâm đối xứng.

Lời giải:

• Phân tích: Nó mang "dáng dấp" của hàm số lẻ \(y = x^3\).

• Bên trong (đi liền với \(x\)): là \(-3\Rightarrow\) đổi dấu thành \(a=3\).

• Bên ngoài: là \(+4\Rightarrow\) giữ nguyên \(b=4\).

• Kết luận nhanh: Tâm đối xứng là \(I(3;4)\).

• Ví dụ 2 (Nhận diện hàm phân thức cơ bản): Cho hàm số \(y = \frac{1}{x + 3} - 4\). Tìm tâm đối xứng.

Lời giải:

• Phân tích: Nó dựa trên bộ khung của hàm số lẻ \(y = \frac{1}{x}\).

• Bên trong (dưới mẫu, đi liền với \(x\)): là \(+3 \Rightarrow\) đổi dấu thành \(a = -3\).

• Bên ngoài: là \(-4 \Rightarrow\) giữ nguyên \(b = -4\).

• Kết luận nhanh: Tâm đối xứng là \(I(-3; -4)\).

• Ví dụ 3 (Hàm lẻ bị ẩn): Cho hàm số \(y = 2(x + 5)^3 - (x + 5) + 7\). Tìm tâm đối xứng.

Lời giải:

• Phân tích: Hàm gốc của nó là \(y = 2X^3 - X\) (đây là một hàm số lẻ vì chỉ chứa bậc lẻ). Đề bài đã thay toàn bộ \(X\) bằng \((x + 5)\) và cộng thêm 7 ở ngoài cùng.

• Bên trong: là \(+5 \Rightarrow\) đổi dấu thành \(a = -5\).

• Bên ngoài: là \(+7 \Rightarrow\) giữ nguyên \(b = 7\).

• Kết luận nhanh: Tâm đối xứng là \(I(-5; 7)\).

Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba

Cơ sở lý thuyết

Xét hàm số bậc ba \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) (với \(a \neq 0\)). Mọi đồ thị hàm số bậc ba đều có đúng một tâm đối xứng, và tâm đối xứng này chính là điểm uốn của đồ thị.

Điểm uốn là gì?

• Về mặt đồ thị: Là điểm mà tại đó đồ thị đổi chiều cong (từ cong lên sang cong xuống hoặc ngược lại).

• Về mặt đại số: Hoành độ điểm uốn là nghiệm của phương trình đạo hàm cấp hai \(y'' = 0\), đồng thời \(y''\) phải đổi dấu khi qua nghiệm này.

• Giải thích: Với hàm bậc ba, \(y'' = 6ax + 2b\) là một biểu thức bậc nhất. Do \(a \neq 0\), phương trình \(y'' = 0\) luôn có đúng một nghiệm và chắc chắn đổi dấu qua nghiệm đó. Vì vậy, mọi hàm bậc ba luôn có đúng một điểm uốn.

Vì sao điểm uốn là tâm đối xứng?

Nếu dời gốc tọa độ về vị trí điểm uốn, phương trình hàm số sẽ chuyển về dạng \(Y = aX^3 + kX\). Đây là một hàm số lẻ, mà hàm lẻ thì luôn nhận gốc tọa độ (mới) làm tâm đối xứng. Do đó, điểm uốn chính là tâm đối xứng của đồ thị ban đầu. Điều này luôn đúng với mọi hàm bậc ba, kể cả những hàm không có cực trị (ví dụ: \(y = x^3 + x\)).

Mối liên hệ với các điểm cực trị: Điểm uốn nằm ở vị trí chính giữa hai điểm cực trị (nếu có). Cụ thể:

• Hoành độ điểm uốn là trung bình cộng hai hoành độ cực trị: \(x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}\)

• Tung độ điểm uốn là trung bình cộng của hai giá trị cực trị: \(y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2}\)

Tính chất này rất hữu ích khi học sinh phải tìm tâm đối xứng dựa vào bảng biến thiên.

Quy trình 3 bước tìm tâm đối xứng

Để tìm tọa độ tâm đối xứng \(I(x_0; y_0)\) của hàm bậc ba, bạn thực hiện theo 3 bước sau:

• Bước 1: Tính đạo hàm cấp một \(y'\) và đạo hàm cấp hai \(y''\).(Lưu ý: Đạo hàm hạ bậc từ từ: \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d \rightarrow y' = 3ax^2 + 2bx + c \rightarrow y'' = 6ax + 2b\))

• Bước 2: Giải phương trình \(y'' = 0\) để tìm hoành độ \(x_0\).(Do \(y''\) là bậc nhất nên học sinh giải phương trình bậc nhất bình thường, không cần dùng \(\Delta\)).

• Bước 3: Thay \(x_0\) vào hàm số ban đầu để tính tung độ \(y_0 = f(x_0)\) và kết luận tọa độ \(I(x_0; y_0)\).(Chú ý: Bắt buộc thay \(x_0\) vào hàm số ban đầu \(y\), KHÔNG thay vào \(y'\) hay \(y''\)).

Công thức tâm đối xứng của hàm bậc ba

Thay vì tính đạo hàm nhiều lần, từ phương trình \(y'' = 6ax + 2b = 0\), ta rút ra được công thức tính nhanh hoành độ tâm đối xứng:

\(x_0 = -\frac{b}{3a}\)

• Cách dùng: Tính \(x_0\) theo công thức trên, sau đó thay \(x_0\) vào phương trình hàm số ban đầu để tìm tung độ \(y_0\).

• Cách vận dụng: Khi làm bài tự luận, hãy làm đầy đủ 3 bước ở phần quy trình. Khi thi trắc nghiệm, dùng công thức \(x_0 = -\frac{b}{3a}\) sẽ giúp bạn tiết kiệm thời gian đáng kể.

Lưu ý: Công thức này chỉ cho hoành độ, đừng quên tính tung độ. Ngoài ra, nó chỉ dùng được cho hàm bậc ba.

Công thức tính thẳng tung độ tâm đối xứng (tham khảo): \(y_0 = \frac{2b^3}{27a^2} - \frac{bc}{3a} + d\). Tuy nhiên, công thức này rất dài và khó nhớ, nên trong nhiều bài toán, thay \(x_0\) vào hàm số ban đầu là cách trực tiếp và dễ để kiểm tra tung độ.

Ví dụ minh họa tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba

Ví dụ 1 (Bài toán tiêu chuẩn): Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1\).

Lời giải:

• Bước 1: Ta có \(y' = 3x^2 + 6x - 9 \Rightarrow y'' = 6x + 6\).

• Bước 2: Giải \(y'' = 0 \Leftrightarrow 6x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = -1\).

• Bước 3: Thay \(x = -1\) vào hàm số: \(y(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 9(-1) + 1 = 12\).

• Kết luận: Tâm đối xứng là \(I(-1; 12)\).

Ví dụ 2 (Dùng công thức tính nhanh): Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = 2x^3 - 6x^2 + 5x - 1\).

Lời giải:

• Nhận diện hệ số: \(a = 2, b = -6\).

• Tính nhanh hoành độ: \(x_0 = -\frac{-6}{3 \cdot 2} = 1\).

• Tính tung độ: \(y(1) = 2(1)^3 - 6(1)^2 + 5(1) - 1 = 0\).

• Kết luận: Tâm đối xứng là \(I(1; 0)\).

Ví dụ 3 (Trường hợp hàm số không có cực trị): Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = x^3 + 3x^2 + 3x + 5\).

Lời giải:

• Bước 1: \(y' = 3x^2 + 6x + 3 \Rightarrow y'' = 6x + 6\). (Lưu ý: \(y' = 3(x + 1)^2 \geq 0\) nên hàm này không có cực trị, nhưng vẫn có tâm đối xứng).

• Bước 2: Giải \(y'' = 0 \Leftrightarrow x = -1\).

• Bước 3: Thay \(x = -1\) vào hàm số: \(y(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 5 = 4\).

• Kết luận: Tâm đối xứng là \(I(-1; 4)\).

Nhận xét thêm: Hàm số có thể viết lại thành hằng đẳng thức \(y = (x + 1)^3 + 4\). Dạng đồ thị này theo phương pháp tịnh tiến hàm lẻ cũng cho ta thấy ngay tâm đối xứng là \((-1; 4)\).

Học sinh có thể xem thêm cách nhận dạng và khảo sát đồ thị hàm số bậc 3 để liên hệ điểm uốn với hình dạng đồ thị.

Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng tổng quát [1]:

\(y = \frac{ax + b}{cx + d}\)

Để đồ thị của hàm số là một đường hypebol không suy biến, cần thỏa mãn hai điều kiện với các vai trò cụ thể như sau:

• \(c\ne0\): mẫu thực sự có bậc nhất.

• \(ad-bc\ne0\): tử và mẫu không triệt tiêu nhân tử chung; khi đó đồ thị có hai tiệm cận như dưới đây.

Nếu \(ad-bc=0\), hàm số bằng hằng số \(a/c\) với \(x\ne-d/c\). Đồ thị là một đường thẳng nằm ngang bị khuyết một điểm, không có tiệm cận đứng; cần xét đối xứng trực tiếp trên tập xác định.

Đặc điểm tiệm cận và tâm đối xứng: Trong hệ trục tọa độ vuông góc, đồ thị hàm số này có hai đường tiệm cận vuông góc với nhau:

• Tiệm cận đứng: \(x = -\frac{d}{c}\) (là nghiệm của mẫu số).

• Tiệm cận ngang: \(y = \frac{a}{c}\) (là tỉ số của hệ số \(x\) trên tử và mẫu).

Kết luận quan trọng: Tâm đối xứng của đồ thị chính là giao điểm của hai đường tiệm cận này, tọa độ là \(I\left(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c}\right)\). Đạo hàm \(y' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}\) luôn mang một dấu (đồng biến hoặc nghịch biến), và hai nhánh của đường hypebol luôn đối xứng nhau qua tâm \(I\) này.

Hiểu sâu bản chất: Vì sao \(I\)lại là tâm đối xứng?

Bằng phép chia đa thức, ta biến đổi hàm số thành: \(y = \frac{a}{c} + \frac{k}{x + \frac{d}{c}}\) (với \(k = \frac{bc - ad}{c^2}\)).

Nếu ta dời gốc tọa độ về điểm \(I\left(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c}\right)\) bằng phép đặt trục tọa độ mới \(X = x + \frac{d}{c}\) và \(Y = y - \frac{a}{c}\), hàm số trở thành \(Y = \frac{k}{X}\). Đây là một hàm số lẻ, do đó đồ thị của nó mặc nhiên nhận gốc tọa độ mới (chính là điểm \(I\)) làm tâm đối xứng.

Quy trình 3 bước tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Để tìm tâm đối xứng \(I(x_0; y_0)\) một cách nhanh chóng, bạn không cần phải nhớ công thức chữ phức tạp, chỉ cần làm theo 3 bước:

• Bước 1: Tìm hoành độ tâm \(x_0\) (Tiệm cận đứng): Cho mẫu số bằng \(0\) để tìm nghiệm. Giá trị này chính là \(x_0\).

• Bước 2: Tìm tung độ tâm \(y_0\) (Tiệm cận ngang): Lấy hệ số của \(x\) ở tử số chia cho hệ số của \(x\) ở mẫu số. Giá trị này chính là \(y_0\). (Bản chất của bước này là việc tính giới hạn \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{ax+b}{cx+d} = \frac{a}{c}\)).

• Bước 3: Kết luận: Ghép hai kết quả lại, ta có tọa độ tâm đối xứng \(I(x_0; y_0)\).

Ví dụ minh họa tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Ví dụ 1 (Áp dụng cơ bản): Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{2x + 1}{x - 3}\).

Lời giải:

• Bước 1: Cho mẫu bằng \(0 \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\) (Tiệm cận đứng).

• Bước 2: Lấy hệ số \(x\) chia nhau \(\Rightarrow y = \frac{2}{1} = 2\) (Tiệm cận ngang).

• Kết luận: Tâm đối xứng là \(I(3; 2)\).

Nhận xét: Nếu ta viết lại hàm số thành \(y = 2 + \frac{7}{x - 3}\). Đặt \(X = x - 3\) và \(Y = y - 2\), hàm số trở thành \(Y = \frac{7}{X}\). Đây là hàm lẻ, nên điểm có tọa độ \((3; 2)\) ở hệ trục cũ chính là tâm đối xứng.

Ví dụ 2 (Tính nhẩm nhanh): Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{4x + 1}{x - 2}\).

Lời giải:

• Tiệm cận đứng (nghiệm mẫu): \(x = 2\).

• Tiệm cận ngang (tỉ số hệ số \(x\)): \(y = \frac{4}{1} = 4\).

• Kết luận: Tâm đối xứng là \(I(2; 4)\).

Ví dụ 3: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{1 - 2x}{3 - x}\).

• Lưu ý: Luôn viết lại đúng thứ tự \(x\) trước, hệ số tự do sau để tránh nhầm lẫn: \(y = \frac{-2x + 1}{-x + 3}\).

• Tiệm cận đứng: \(-x + 3 = 0 \Rightarrow x = 3\).

• Tiệm cận ngang: \(y = \frac{-2}{-1} = 2\).

• Kết luận: Tâm đối xứng là \(I(3; 2)\).

Phân biệt với trục đối xứng

Ngoài tâm I(x₀;y₀), đồ thị phân thức không suy biến này còn có hai trục đối xứng là hai đường phân giác của góc tạo bởi các tiệm cận. Trong hệ trục vuông góc có cùng đơn vị đo, phương trình của chúng là \(y-y_0=\pm(x-x_0)\). Đây là hai đường thẳng, khác với tâm đối xứng là một điểm.

Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất

Xét hàm số \(y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e}\) (với\(a \neq 0, d \neq 0\) và phép chia tử cho mẫu có dư khác 0) [1].

Đồ thị của hàm số này là một đường hypebol. Đặc điểm quan trọng nhất của nó là: Tâm đối xứng chính là giao điểm của đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận xiên.

Sau khi thực hiện phép chia đa thức, hàm số có thể viết lại dưới dạng:

\(y = ux + p + \frac{m}{x - x_0}\)

(với \(x_0 = -\frac{e}{d}\) và \(m \neq 0\)).

Nếu ta tịnh tiến hệ tọa độ về điểm \(I(x_0; ux_0 + p)\) bằng cách đặt \(X = x - x_0\) và \(Y = y - (ux_0 + p)\), hàm số trở thành:

\(Y = uX + \frac{m}{X}\)

Đây là tổng của hai hàm số lẻ, do đó nó là một hàm số lẻ. Điều này chứng minh đồ thị nhận gốc tọa độ mới – tức là điểm \(I(x_0; ux_0 + p)\)– làm tâm đối xứng. Đồ thị sẽ có hai nhánh nằm ở hai phía của tiệm cận đứng và tiến sát vào tiệm cận xiên khi \(x \to \pm\infty\).

Quy trình 3 bước tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất

Để tìm tâm đối xứng \(I(x_0; y_0)\), bạn chỉ cần làm theo 3 bước sau:

• Bước 1: Tìm tiệm cận đứng (TCĐ): Cho mẫu số bằng 0 \(\Rightarrow dx + e = 0 \Rightarrow x = x_0\). (Lưu ý: Cần nhẩm nhanh để đảm bảo tử số tại \(x_0\) khác 0).

• Bước 2: Tìm tiệm cận xiên (TCX): Chia tử cho mẫu để đưa hàm số về dạng \(y = ux + p + \frac{r}{dx + e}\). Khi \(x \to \pm\infty\), phần phân thức \(\frac{r}{dx + e} \to 0\), nên đường TCX chính là phần đa thức: \(y = ux + p\).

• Bước 3: Xác định tọa độ tâm đối xứng: Thay hoành độ \(x_0\)(từ Bước 1) vào phương trình TCX (từ Bước 2) để tìm tung độ\(y_0 = ux_0 + p\). Kết luận tâm đối xứng là \(I(x_0; y_0)\).

Phương pháp kiểm tra phép tính:

• Nhẩm hệ số góc: Với hàm \(y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e}\), hệ số góc của TCX luôn là \(u = \frac{a}{d}\). Bạn có thể dùng tính chất này để kiểm tra lại kết quả chia.

• Chia đa thức bằng sơ đồ Horner (khi mẫu có dạng \(x - x_0\)):

  Viết các hệ số của tử thành hàng ngang. Hạ hệ số đầu tiên xuống, nhân với \(x_0\) rồi cộng vào hệ số kế tiếp, lặp lại đến hết.

Ví dụ minh họa tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất

Ví dụ 1: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x + 2}\).

Lời giải:

• Tiệm cận đứng (TCĐ): \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\) (tử số tại đây bằng \(-2 \neq 0\)).

• Tiệm cận xiên (TCX): Thực hiện phép chia (như đã nhẩm ở trên), ta được \(y = x - \frac{2}{x + 2}\). Vậy đường TCX là \(y = x\).

• Tâm đối xứng: Tọa độ giao điểm là hoành độ \(x = -2\), thế vào TCX ta được tung độ \(y = -2\). Vậy tâm đối xứng là \(I(-2; -2)\).(Kiểm tra tâm đối xứng: Đặt \(X = x + 2\) và \(Y = y + 2\) \(\Rightarrow Y = X - \frac{2}{X}\), đây đúng là hàm số lẻ).

Ví dụ 2: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1}\).

Lời giải:

• Tiệm cận đứng (TCĐ): \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)(tử số tại đây bằng \(1 \neq 0\)).

• Tiệm cận xiên (TCX): \(x^2 - 3x + 3 = (x - 1)(x - 2) + 1\), suy ra \(y = x - 2 + \frac{1}{x - 1}\). Vậy TCX là \(y = x - 2\).

• Tâm đối xứng: Tại \(x = 1\), thay vào TCX ta có \(y = 1 - 2 = -1\). Vậy tâm đối xứng là \(I(1; -1)\). (Hệ số góc \(u = \frac{1}{1} = 1\), hoàn toàn khớp).

Liên hệ với trục đối xứng

Với hàm bậc hai trên bậc nhất không rút gọn được, hai trục đối xứng là các đường phân giác của góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận xiên. Khi tìm tâm đối xứng, chỉ cần xác định giao điểm hai tiệm cận, không cần tính phương trình các trục.

Khi cần xác định đường thẳng dùng để tính tung độ tâm, học sinh có thể ôn lại cách tìm tiệm cận xiên.

Các dạng bài tập thường gặp về tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Để xác định nhanh tâm đối xứng của đồ thị hàm số, hãy sử dụng bảng tổng hợp phương pháp dưới đây trước khi đi sâu vào từng dạng bài:

Điều kiện áp dụng bảng: Hàm bậc ba có a≠0; phân thức bậc nhất trên bậc nhất có c≠0 và ad−bc≠0; phân thức bậc hai trên bậc nhất có tử bậc hai, mẫu bậc nhất và số dư phép chia khác 0.

Dạng 1: Tìm tâm đối xứng của hàm số cho sẵn

Nhận dạng đúng loại hàm số và áp dụng công thức tương ứng để tìm tọa độ điểm \(I\).

Hàm bậc ba

Ví dụ: Tìm tâm đối xứng của \(y = -x^3 + 3x^2 + 2\).

Lời giải:

Hàm số có hệ số \(a = -1\), \(b = 3\). Hoành độ tâm đối xứng là \(x_0 = -\frac{3}{3 \cdot (-1)} = 1\). Thay \(x = 1\) vào hàm số, ta được \(y_0 = -1 + 3 + 2 = 4\). Vậy tâm đối xứng là \(I(1; 4)\).

Hàm phân thức bậc nhất / bậc nhất

Ví dụ: Tìm tâm đối xứng của \(y = \frac{-x + 5}{2x - 4}\).

Lời giải:

Tiệm cận đứng là \(x = 2\) (nghiệm của mẫu). Tiệm cận ngang là \(y = \frac{a}{c} = -\frac{1}{2}\). Vậy tâm đối xứng là \(I\left(2; -\frac{1}{2}\right)\).

Hàm phân thức bậc hai / bậc nhất

Ví dụ: Tìm tâm đối xứng của \(y = \frac{2x^2 - x + 3}{x - 2}\).

Lời giải:

Tiệm cận đứng là \(x = 2\). Thực hiện phép chia đa thức (có thể dùng sơ đồ Horner), ta phân tích được \(y = 2x + 3 + \frac{9}{x - 2}\). Tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = 2x + 3\). Thay \(x = 2\) vào phương trình tiệm cận xiên, ta có \(y_0 = 2 \cdot 2 + 3 = 7\). Vậy tâm đối xứng là \(I(2; 7)\).

Dạng 2: Bài toán chứa tham số m

Quy trình giải luôn gồm 3 bước:

• Bước 1: Tìm tọa độ \(I\) theo tham số \(m\).

• Bước 2: Thay tọa độ \(I\) vào điều kiện đề bài để tìm \(m\) (ví dụ: \(I\) thuộc một đường thẳng).

• Bước 3: Đối chiếu điều kiện tồn tại của hàm số (nếu có).

Ví dụ 1 (Hàm bậc ba): Tìm \(m\) để tâm đối xứng của \(y = x^3 - 3mx^2 + 4\) nằm trên đường thẳng \(y = -2x + 4\).

Lời giải:

• Bước 1 - Tìm tọa độ \(I\) theo tham số \(m\):

  • Tính đạo hàm cấp hai \(y'' = 6x - 6m\). Cho \(y'' = 0 \Rightarrow x = m\).

  • Tung độ \(y(m) = m^3 - 3m(m^2) + 4 = -2m^3 + 4\). Vậy \(I(m; -2m^3 + 4)\).

• Bước 2: Thay tọa độ \(I\) vào điều kiện đề bài để tìm \(m\)

  • Thay \(I\) vào đường thẳng: \(-2m^3 + 4 = -2m + 4 \Leftrightarrow 2m^3 - 2m = 0 \Leftrightarrow m \in \{-1; 0; 1\}\).

Ví dụ 2 (Hàm phân thức): Tìm \(m\) để tâm đối xứng của \(y = \frac{mx + 2}{x - m}\) nằm trên đường thẳng \(y = -x + 4\).

Lời giải:

• Điều kiện để hàm số không bị suy biến là \(ad - bc = -m^2 - 2 \neq 0\) (luôn đúng với mọi \(m\)).

• Bước 1 - Tìm tọa độ \(I\) theo tham số \(m\):

  • Tiệm cận đứng \(x = m\), tiệm cận ngang \(y = m\). Vậy \(I(m; m)\).

• Bước 2: Thay tọa độ \(I\) vào điều kiện đề bài để tìm \(m\)

  • Thay \(I\) vào đường thẳng: \(m = -m + 4 \Rightarrow m = 2\).

Dạng 3: Xác định tâm đối xứng qua đồ thị hoặc bảng biến thiên

Không cần tính toán phức tạp, học sinh chỉ cần đọc đúng các dữ kiện đồ thị:

Đọc từ Bảng biến thiên (BBT)

• Hàm bậc ba có hai cực trị: Tâm là trung điểm hai điểm cực trị: \(x_I=\frac{x_1+x_2}{2},\quad y_I=\frac{y_1+y_2}{2}\). Nếu bảng không cung cấp đủ dữ kiện xác định tâm, cần thêm công thức hàm số hoặc đồ thị có tọa độ rõ ràng.

• Hàm bậc nhất trên bậc nhất không suy biến: Đọc tiệm cận ngang từ giới hạn tại vô cực và tiệm cận đứng từ giới hạn vô cực tại một hoành độ hữu hạn; giao điểm của chúng là tâm. Điểm bị loại khỏi tập xác định chưa chắc là tiệm cận đứng.

• Hàm bậc hai trên bậc nhất không rút gọn được: Cần phương trình tiệm cận xiên; chỉ các giới hạn vô cực trong bảng biến thiên thường chưa đủ xác định tung độ tâm.

Đọc trực tiếp từ đồ thị

Với đồ thị bậc ba, dùng tọa độ điểm uốn hoặc trung điểm hai điểm cực trị nếu có. Với hai dạng phân thức đang xét, đọc tọa độ giao điểm các tiệm cận đã được xác định. Hình vẽ chỉ giúp nhận diện; không suy ra tọa độ chính xác từ hình thiếu nhãn. Không khái quát quy tắc giao hai tiệm cận cho mọi hàm phân thức.

Để kiểm tra một điểm I dự đoán từ hình, dùng định nghĩa: với mọi M thuộc đồ thị, điểm đối xứng M′ qua I cũng phải thuộc đồ thị. Kiểm tra một vài cặp điểm chỉ có giá trị minh họa, chưa đủ chứng minh.

Các lỗi sai phổ biến cần tránh

• Nhầm lẫn đạo hàm: Ở hàm bậc ba, \(y' = 0\) dùng để tìm cực trị, còn \(y'' = 0\) mới là phép toán dùng để tìm hoành độ tâm đối xứng (điểm uốn).

• Quên tính tung độ: Rất nhiều học sinh dừng lại ở việc tìm \(x_0\) mà quên thay ngược vào hàm số ban đầu \(f(x_0)\) để tìm \(y_0\).

• Sai dấu tiệm cận: Với hàm \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\), tiệm cận đứng là \(x = -\frac{d}{c}\)(lưu ý dấu trừ) và tiệm cận ngang là \(y = \frac{a}{c}\) (rất dễ nhầm thành \(\frac{a}{d}\)).

• Dùng công thức sai loại hàm. Công thức \(x_0=\dfrac{-b}{3a}\) chỉ dành cho hàm bậc ba. Parabol và hàm trùng phương không có tâm đối xứng.

• Nhầm tâm đối xứng với trục đối xứng. Hàm bậc ba không có trục đối xứng, đừng đi tìm trục cho hàm này.

• Bỏ qua điều kiện suy biến của hàm phân thức: Nếu biểu thức có thể rút gọn (ví dụ \(y = \frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1\) với \(x \neq 1\)), đồ thị sẽ suy biến thành một đường thẳng bị gián đoạn tại điểm có hoành độ \(x = 1\). Khi đó, đồ thị không còn đường tiệm cận đứng theo dạng phân thức chuẩn, do đó không thể xác định tâm đối xứng bằng giao điểm của hai đường tiệm cận mà cần xét trực tiếp đồ thị sau khi rút gọn.

• Lỗi bấm máy/tính toán: Khi thay giá trị âm vào hàm số để tìm tung độ, bắt buộc phải dùng dấu ngoặc.

Trường hợp rút gọn cần chú ý: \(y=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1,\quad x\ne1\) là đường thẳng bị khuyết điểm (1;2). Đồ thị vẫn nhận chính điểm khuyết I(1;2) làm tâm đối xứng: phép đối xứng biến x thành 2−x và bảo toàn điều kiện x≠1. Vì vậy, “không có tiệm cận đứng” không đồng nghĩa “không có tâm đối xứng”.

Cách kiểm tra kết quả: Sau khi tìm được tọa độ tâm \(I(x_0; y_0)\), hãy thực hiện phép tịnh tiến hệ trục tọa độ bằng cách đặt \(X = x - x_0\) và \(Y = y - y_0\). Nếu hàm \(Y(X)\) rút gọn thành một hàm số lẻ (tức là thỏa mãn \(Y(-X) = -Y(X)\)), thì \(I\) chắc chắn là tâm đối xứng.

Bài tập trắc nghiệm tự luyện tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Hãy tự làm từng câu trước khi xem đáp án. Với mỗi câu, học sinh có thể làm theo quy trình sau: (1) nhận dạng loại hàm số, (2) chọn phương pháp tương ứng với loại hàm số, và (3) thử lại kết quả bằng cách đặt \(X = x -x_0\), \(Y = y -y_0\) nếu còn thời gian. Các câu được xếp từ dễ đến khó theo ba mức độ: nhận biết, thông hiểu và vận dụng.

Bài tập mức độ nhận biết

Câu 1. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 2x + 5\) là:

A. \(I(1; 3)\)

B. \(I(-1; -1)\)

C. \(I(1; 5)\)

D. \(I(0; 5)\)

Lời giải:

Chọn C.

• Hoành độ tâm đối xứng \(x_0 = \frac{-(-3)}{3 \cdot 1} = 1\).

• Tung độ \(y(1) = 1 - 3 + 2 + 5 = 5\).

• Vậy tâm đối xứng là \(I(1; 5)\).

Câu 2. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{3x - 1}{x + 2}\) là:

A. \(I(2; 3)\)

B. \(I(-2; 3)\)

C. \(I(-2; -1)\)

D. \(I(3; -2)\)

Lời giải:

Chọn B.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = -2\) và tiệm cận ngang \(y = \frac{3}{1} = 3\). Giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng, do đó tâm đối xứng là \(I(-2; 3)\).

Bài tập mức độ thông hiểu

Câu 3. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = -2x^3 + 6x^2 - x + 4\) là:

A. \(I(1; 7)\)

B. \(I(-1; 13)\)

C. \(I(1; 9)\)

D. \(I(3; 1)\)

Lời giải:

Chọn A.

• Hoành độ tâm đối xứng \(x_0 = \frac{-6}{3 \cdot (-2)} = 1\).

• Tung độ \(y(1) = -2 + 6 - 1 + 4 = 7\).

• Vậy tâm đối xứng là \(I(1; 7)\).

Câu 4. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1}\) là:

A. \(I(1; 2)\)

B. \(I(1; 1)\)

C. \(I(-1; 1)\)

D. \(I(1; 3)\)

Lời giải:

Chọn D.

• Tiệm cận đứng: \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\) (do thay \(x=1\) lên tử số ta được \(3 \neq 0\)).

• Thực hiện chia đa thức (hoặc chia bằng sơ đồ Horner với \(x_0 = 1\)): ta được \(y = x + 2 + \frac{3}{x - 1}\).

• Tiệm cận xiên là \(y = x + 2\).

• Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên. Tại \(x = 1\), ta có \(y_0 = 1 + 2 = 3\). Vậy tâm đối xứng là \(I(1; 3)\).

Câu 5. Đồ thị hàm số nào sau đây nhận gốc tọa độ \(O\) làm tâm đối xứng?

A. \(y = x^3 - 3x + 1\)

B. \(y = x^4 - 2x^2\)

C. \(y = x^3 + 2x\)

D. \(y = \frac{x + 1}{x - 1}\)

Lời giải:

Chọn C.

• Xét C: Đặt \(f(x) = x^3 + 2x\). Ta có \(f(-x) = (-x)^3 + 2(-x) = -x^3 - 2x = -f(x)\). Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ \(O(0; 0)\) làm tâm đối xứng.

• Xét A: \(y = x^3 - 3x + 1\) là hàm lẻ \(x^3 - 3x\) cộng thêm 1 nên tâm đối xứng bị tịnh tiến lên thành \((0; 1)\).

• Xét B: \(f(-x) = f(x)\) nên đây là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng \(Oy\); và đồ thị này không có tâm đối xứng.

• Xét D: Tiệm cận đứng \(x = 1\), tiệm cận ngang \(y = 1\), nên tâm đối xứng là \((1; 1)\).

Bài tập mức độ vận dụng

Câu 6. Cho hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + (m - 2)x + m\). Tâm đối xứng của đồ thị nằm trên trục hoành khi \(m\) bằng:

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(-2\)

D. \(4\)

Lời giải:

Chọn B.

• Ta có \(y' = 3x^2 - 6x + m - 2\) và \(y'' = 6x - 6\).

• Giải \(y'' = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

• Tung độ tâm đối xứng: \(y(1) = 1 - 3 + (m - 2) + m = 2m - 4\). Tâm đối xứng là \(I(1; 2m - 4)\).

• Để tâm đối xứng nằm trên trục hoành thì tung độ phải bằng 0:

  • \(2m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 2\).

(Thử lại: với \(m = 2\), hàm số là \(y = x^3 - 3x^2 + 2\) và \(y(1) = 0\)).

Câu 7. Biết đồ thị hàm số \(y = \frac{ax + 1}{x + b}\) nhận \(I(2; 3)\) làm tâm đối xứng. Giá trị của \(a + b\) bằng:

A. \(5\)

B. \(-5\)

C. \(1\)

D. \(-1\)

Lời giải:

Chọn C.

Hàm số \(y = \frac{ax + 1}{x + b}\) có tiệm cận đứng là \(x = -b\) và tiệm cận ngang là \(y = a\).

Do tâm đối xứng là \(I(2; 3)\) (giao của hai đường tiệm cận), nên ta có:

• Tiệm cận đứng: \(-b = 2 \Rightarrow b = -2\).

• Tiệm cận ngang: \(a = 3\).

  Kiểm tra điều kiện hàm phân thức không suy biến: \(ad - bc = a \cdot b - 1 \cdot 1 = 3 \cdot (-2) - 1 = -7 \neq 0\) (thỏa mãn). Vậy:

  \(a + b = 3 + (-2) = 1\).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm mà phép đối xứng qua đó biến đồ thị thành chính nó. Với hàm bậc ba, tâm là điểm uốn; với hàm phân thức bậc nhất hoặc bậc hai trên bậc nhất không rút gọn được, tâm là giao điểm hai đường tiệm cận tương ứng.

Khi giải bài tập, học sinh cần nhận dạng đúng hàm số, kiểm tra điều kiện áp dụng và xác định đủ hoành độ, tung độ của tâm. Ôn tập các chuyên đề Toán 12 giúp củng cố kiến thức về đạo hàm, tiệm cận và cách đọc đồ thị để vận dụng chính xác.