Tia phân giác là gì? Định nghĩa, tính chất và cách vẽ

Tia phân giác là gì? Đó là tia nằm trong một góc, có gốc tại đỉnh và chia góc thành hai góc bằng nhau. Nắm vững định nghĩa và tính chất tia phân giác giúp học sinh tính số đo góc, vẽ hình và chứng minh hình học trong chương trình Toán 7.

Bài viết hệ thống khái niệm, tính chất, cách vẽ và cách tính góc có tia phân giác; phân biệt với đường phân giác trong tam giác, giới thiệu tính chất đồng quy của ba đường phân giác và bài tập có lời giải.

Tia phân giác là gì?

Tia phân giác của một góc là tia nằm trong góc, có gốc tại đỉnh và chia góc đó thành hai góc có số đo bằng nhau. [1]

Xét góc \(xOy\) và tia \(Oz\) nằm trong góc. Nếu:\[\widehat{xOz}=\widehat{zOy}\]

thì \(Oz\) là tia phân giác của góc \(xOy\). Khi nhận biết, cần kiểm tra đủ ba điều kiện:

• Tia \(Oz\) có chung gốc \(O\) với hai cạnh \(Ox\), \(Oy\).

• Tia \(Oz\) nằm giữa \(Ox\) và \(Oy\), tức nằm trong góc đang xét.

• Hai góc \(xOz\), \(zOy\) có số đo bằng nhau.

Phân biệt tia và đường phân giác của một góc: tia phân giác bắt đầu từ đỉnh và nằm trong góc; đường thẳng chứa tia đó được gọi là đường phân giác của góc. Vì vậy, không định nghĩa tia phân giác là một đường thẳng. [1]

Khi xét một góc cụ thể, nên gọi đầy đủ “tia phân giác của góc”, thay vì chỉ nói “phân giác” mà không rõ đối tượng. Trong Bài 8 Toán 7 Kết nối tri thức, kiến thức này được học cùng các góc ở vị trí đặc biệt.

Tính chất của tia phân giác

Nếu \(Oz\) chia đôi góc \(xOy\), hai góc nhỏ bằng nhau và có tổng bằng góc ban đầu. Do đó:\[\widehat{xOz}=\widehat{zOy}=\frac{1}{2}\widehat{xOy}\]

Ngược lại, từ một góc nhỏ có thể tìm góc lớn:\[\widehat{xOy}=2\widehat{xOz}=2\widehat{zOy}\]

Chiều nhận biết cũng cần nhớ: nếu \(Oz\) nằm trong góc \(xOy\) và hai góc ở hai phía của nó bằng nhau, ta kết luận \(Oz\) là tia phân giác. Chỉ thấy tia nằm giữa hai cạnh hoặc hình vẽ có vẻ cân đối thì chưa đủ.

Vận dụng sau khi học tam giác bằng nhau: Với góc có số đo lớn hơn 0° và nhỏ hơn 180°, một điểm trên tia phân giác cách đều hai cạnh. Ngược lại, điểm nằm bên trong góc và cách đều hai cạnh thì nằm trên tia chia đôi góc đó.

Khoảng cách từ điểm đến cạnh được hiểu là độ dài đoạn vuông góc tới đường thẳng chứa cạnh, không phải đoạn xiên tùy ý. Lấy \(M\) thuộc \(Oz\), kẻ \(MA\perp Ox\), \(MB\perp Oy\), với A, B là chân vuông góc. Khi đó:\[MA=MB\]

Hai hướng vận dụng khác nhau: khi đã biết một tia chia đôi góc, suy ra góc hoặc khoảng cách bằng nhau; khi phải chứng minh, cần tìm sự bằng nhau và kiểm tra điều kiện vị trí. Không dùng kết luận đang cần chứng minh làm giả thiết.

Cơ sở chứng minh: Với M khác O nằm trên tia phân giác, hai tam giác vuông OAM và OBM có cạnh huyền OM chung và hai góc tại O bằng nhau nên bằng nhau, suy ra MA = MB. Ngược lại, nếu M nằm trong góc và MA = MB, hai tam giác vuông bằng nhau theo cạnh huyền – cạnh góc vuông, nên hai góc tại O bằng nhau; do đó OM là tia phân giác.

Cách tính và cách vẽ tia phân giác của một góc

“Cách tính tia phân giác” thường là cách tính số đo góc có tia đó. Trong nội dung này không có đại lượng “độ dài tia phân giác”, vì một tia kéo dài vô hạn theo một hướng.

Cách tính số đo góc có tia phân giác

Biết góc ban đầu thì chia số đo cho 2; biết một góc nhỏ thì nhân 2. Nếu hai góc nhỏ có biểu thức chứa ẩn, lập đẳng thức giữa chúng. Mỗi cách cần kiểm tra lại bằng quan hệ cộng góc.

Ví dụ 1. Biết số đo góc ban đầu

Đề bài: Cho \(\widehat{xOy}=74^\circ\), \(Oz\) là tia phân giác. Tính hai góc nhỏ.

Phân tích

Góc lớn đã biết, nên chia 74° thành hai phần bằng nhau.

Lời giải

Bước 1: Từ giả thiết, có \(\widehat{xOz}=\widehat{zOy}\) và tổng hai góc bằng \(74^\circ\).

Bước 2: Tính \(\widehat{xOz}=\widehat{zOy}=74^\circ:2=37^\circ\).

Bước 3: Kiểm tra \(37^\circ+37^\circ=74^\circ\).

Đáp án

Mỗi góc nhỏ bằng \(37^\circ\).

Ví dụ 2. Biết một góc nhỏ

Đề bài: Biết \(Oz\) chia đôi góc \(xOy\) và \(\widehat{xOz}=35^\circ\). Tính \(\widehat{xOy}\).

Phân tích

Số 35° thuộc một nửa góc, nên cần nhân 2.

Lời giải

Bước 1: Suy ra \(\widehat{zOy}=\widehat{xOz}=35^\circ\).

Bước 2: Cộng hai góc: \(\widehat{xOy}=35^\circ+35^\circ=70^\circ\).

Bước 3: Kiểm tra \(70^\circ:2=35^\circ\), đúng dữ kiện.

Đáp án\[\widehat{xOy}=70^\circ\]

Ví dụ 3. Hai góc chứa ẩn

Đề bài: \(Oz\) chia đôi góc \(aOb\). Biết \(\widehat{aOz}=(2x+5)^\circ\), \(\widehat{zOb}=(3x-10)^\circ\). Tìm x và số đo góc \(aOb\).

Phân tích

Hai biểu thức biểu diễn hai góc bằng nhau. Dùng a, b để đặt tên cạnh, tránh nhầm ẩn x với tên một tia.

Lời giải

Bước 1: Lập đẳng thức \(2x+5=3x-10\).

Bước 2: Chuyển vế: \(5+10=3x-2x\), suy ra \(x=15\).

Bước 3: Thay lại: \(2\cdot15+5=35\), \(3\cdot15-10=35\). Hai góc bằng nhau, đều dương.

Bước 4: Cộng hai góc: \(\widehat{aOb}=35^\circ+35^\circ=70^\circ\).

Đáp án

\(x=15\); góc \(aOb\) bằng \(70^\circ\).

Cách vẽ tia phân giác bằng thước đo góc

Quy trình gồm năm bước: xác định góc ban đầu, chia đôi số đo, đặt thước đúng vị trí, đánh dấu điểm rồi vẽ tia. Sau đó đo hai góc nhỏ để kiểm tra. Khi thước có hai dãy số, đọc dãy bắt đầu từ 0° trên cạnh đã chọn.

Ví dụ 4. Thực hành vẽ

Đề bài: Vẽ tia chia đôi góc \(xOy\) có số đo \(74^\circ\) bằng thước đo góc.

Phân tích

Cần đánh dấu hướng 37° ở phía bên trong góc; không chọn hướng đối hoặc đọc nhầm dãy số.

Lời giải

Bước 1: Đo hoặc xác định \(\widehat{xOy}=74^\circ\).

Bước 2: Tính một nửa: \(74^\circ:2=37^\circ\).

Bước 3: Đặt tâm thước tại O, vạch 0° của cạnh thước trùng với hướng Ox.

Bước 4: Đánh dấu M trong góc tại vị trí 37° trên dãy số bắt đầu từ Ox.

Bước 5: Dùng thước thẳng vẽ tia OM đi qua điểm vừa đánh dấu.

Kiểm tra bằng cách đo: \(\widehat{xOM}=37^\circ\), \(\widehat{MOy}=74^\circ-37^\circ=37^\circ\). Hai số đo bằng nhau.

Đáp án

OM là tia phân giác cần vẽ.

Có thể gấp giấy để hình dung: cắt một góc, gấp sao cho hai cạnh trùng nhau và đỉnh giữ nguyên vị trí. Mở giấy, nếp gấp qua đỉnh cho hướng chia đôi góc. Chọn phần nếp gấp nằm trong góc để biểu diễn tia, như hoạt động trực quan ở Bài 8.

Cách vẽ tia phân giác bằng thước thẳng và compa

Với góc xOy có số đo lớn hơn 0° và nhỏ hơn 180°, thực hiện như sau:

1. Vẽ một cung tròn tâm O cắt Ox tại A và Oy tại B, để OA = OB.

2. Giữ cùng một độ mở compa, vẽ hai cung tâm A và B. Chọn độ mở lớn hơn một nửa AB và khác OA; lấy một giao điểm M nằm trong góc, M khác O.

3. Dùng thước thẳng vẽ tia OM. Vì OA = OB, MA = MB và OM chung, hai tam giác OAM, OBM bằng nhau theo cạnh–cạnh–cạnh. Suy ra OM là tia phân giác.

Đường phân giác trong tam giác là gì?

Đường phân giác trong tam giác là đoạn thẳng từ một đỉnh đến cạnh đối diện, nằm trên tia chia đôi góc tại đỉnh đó.

Xét tam giác ABC, D nằm trên cạnh BC, khác B và C. Nếu tia AD chia đôi góc BAC thì đoạn AD là đường phân giác xuất phát từ A. Khi đó:\[\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\]Mỗi đỉnh có một đường như vậy, nên một tam giác có ba đường phân giác trong. Nội dung này được phát triển ở Bài 34 Toán 7 Kết nối tri thức. Cần phân biệt với hai đường đặc biệt thường gặp sau:

Trong tam giác đặc biệt, một đoạn có thể giữ nhiều vai trò; nhưng các định nghĩa không vì thế giống nhau. Với tam giác cân, muốn dùng quan hệ giữa đường chia góc ở đỉnh cân và đáy, cần viện dẫn tính chất đã học hoặc chứng minh, như Bài 9 phía dưới.

Người học có thể đọc phần định nghĩa đường trung tuyến và đường cao để đối chiếu đúng đối tượng, không cần dùng công thức độ dài nâng cao.

Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác

Phần liên hệ dưới đây thuộc Bài 34 Toán 7 tập hai, tiếp nối kiến thức về tia phân giác ở Bài 8. [2]

Ba đường phân giác trong của tam giác cùng đi qua một điểm; tính chất này gọi là đồng quy. Nếu AM và BN là hai đường phân giác trong của tam giác ABC, cắt nhau tại I, thì đường phân giác trong xuất phát từ C cũng đi qua I. Điểm I luôn nằm bên trong tam giác. [2]

I cách đều ba cạnh. Cụ thể, kẻ \(IP\perp AB\), \(IQ\perp BC\), \(IR\perp CA\), với P, Q, R là các chân vuông góc. Khi đó:\[IP=IQ=IR\]Nhờ vậy, biết hai đường phân giác trong cắt nhau tại I thì suy ra đường phân giác trong thứ ba cũng đi qua I; biết một khoảng cách thì suy ra hai khoảng cách còn lại. Điều kiện vuông góc phải được ghi rõ trước khi coi một đoạn là khoảng cách.

Điểm đồng quy I còn được gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Tên gọi này xuất phát từ việc I cách đều ba cạnh; bán kính là khoảng cách vuông góc từ I đến một cạnh. Nội dung trọng tâm ở đây là chia đôi góc và tính đồng quy; định lí về tỉ số các đoạn trên cạnh đối diện được học trong Toán 8.

“Tính chất tia phân giác trong tam giác” có thể chỉ việc chia đôi góc ở một đỉnh hoặc sự đồng quy của ba đường trong tam giác. Đây là hai ý liên quan nhưng khác nhau. Đồng quy nghĩa là có chung một điểm, không phải ba đường trùng nhau; I cách đều ba cạnh, không mặc nhiên cách đều ba đỉnh.

Bài tập về tia phân giác và đường phân giác có đáp án

Các bài sau giúp vận dụng kiến thức tia phân giác là gì qua các dạng nhận biết, tính góc, chứng minh và sử dụng đường phân giác trong tam giác. Người học nên tự vẽ hình và viết giả thiết trước khi xem lời giải; không đo trực tiếp hình minh họa để thay cho lập luận.

Bài tập nhận biết tia phân giác

Bài 1. Chọn tia trong hình nhiều tia

Đề bài: Cho các tia Ox, Ot, Oz, Oy theo thứ tự trong góc xOy. Biết \(\widehat{xOt}=20^\circ\), \(\widehat{tOz}=20^\circ\), \(\widehat{zOy}=40^\circ\). Tia nào chia đôi góc xOy? Ot có chia đôi góc này không?

Phân tích

Cả hai tia trong đều chung gốc O. Cần cộng các góc nhỏ để so sánh hai phía của từng tia.

Lời giải

Bước 1: Tính \(\widehat{xOz}=20^\circ+20^\circ=40^\circ\).

Bước 2: Vì Oz nằm trong góc và \(\widehat{xOz}=\widehat{zOy}=40^\circ\), Oz là tia phân giác.

Bước 3: Với Ot, có \(\widehat{tOy}=20^\circ+40^\circ=60^\circ\), khác \(\widehat{xOt}=20^\circ\). Ot không đáp ứng định nghĩa.

Đáp án

Oz chia đôi góc xOy; Ot không chia đôi góc này.

Bài tập tính số đo góc

Bài 2. Tính hai góc nhỏ

Đề bài: Cho \(\widehat{aOb}=96^\circ\), Oc là tia phân giác. Tính hai góc aOc và cOb.

Phân tích

Đã biết góc lớn và hướng chia đôi, nên lấy 96° chia 2.

Lời giải

Bước 1: Có \(\widehat{aOc}=\widehat{cOb}\) và tổng bằng \(96^\circ\).

Bước 2: Tính \(\widehat{aOc}=\widehat{cOb}=96^\circ:2=48^\circ\).

Bước 3: Kiểm tra \(48^\circ+48^\circ=96^\circ\).

Đáp án

Mỗi góc bằng \(48^\circ\).

Bài 3. Tính góc ban đầu

Đề bài: Oc chia đôi góc aOb; \(\widehat{aOc}=27^\circ\). Tìm \(\widehat{aOb}\).

Phân tích

Đề cho một góc nhỏ, nên tìm góc kia rồi cộng, tương đương nhân 2.

Lời giải

Bước 1: Suy ra \(\widehat{cOb}=27^\circ\).

Bước 2: Tính \(\widehat{aOb}=27^\circ+27^\circ=54^\circ\).

Bước 3: Kiểm tra \(54^\circ:2=27^\circ\).

Đáp án

Góc aOb bằng \(54^\circ\).

Bài 4. Tìm ẩn trong số đo góc

Đề bài: Oc chia đôi góc aOb, với \(\widehat{aOc}=(4t+2)^\circ\), \(\widehat{cOb}=(6t-18)^\circ\). Tìm t và góc aOb.

Phân tích

Lập đẳng thức hai biểu thức; sau khi tìm t phải kiểm tra số đo dương.

Lời giải

Bước 1: Viết \(4t+2=6t-18\).

Bước 2: Chuyển vế: \(2+18=6t-4t\), nên \(20=2t\) và \(t=10\).

Bước 3: Tính \(4\cdot10+2=42\), \(6\cdot10-18=42\). Hai góc đều bằng \(42^\circ\).

Bước 4: Góc lớn bằng \(42^\circ+42^\circ=84^\circ\).

Đáp án

\(t=10\); góc aOb bằng \(84^\circ\).

Bài 5. Kết hợp hai góc kề bù

Đề bài: Ox, Ou là hai tia đối nhau; Oy nằm trong góc bẹt xOu. Biết \(\widehat{xOy}=120^\circ\) và Oz chia đôi góc yOu. Tính góc yOz và xOz.

Phân tích

Tính góc yOu bằng quan hệ kề bù trước, sau đó chia đôi và cộng góc theo đúng vị trí tia.

Lời giải

Bước 1: Vì hai góc xOy, yOu kề bù, \(\widehat{yOu}=180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

Bước 2: Suy ra \(\widehat{yOz}=\widehat{zOu}=60^\circ:2=30^\circ\).

Bước 3: Oy nằm giữa Ox và Oz, nên \(\widehat{xOz}=120^\circ+30^\circ=150^\circ\). Kiểm tra \(150^\circ+30^\circ=180^\circ\).

Đáp án

\(\widehat{yOz}=30^\circ\); \(\widehat{xOz}=150^\circ\).

Bài tập chứng minh tia là tia phân giác

Bài 6. Chứng minh bằng số đo

Đề bài: Oz nằm trong góc xOy, \(\widehat{xOy}=80^\circ\), \(\widehat{xOz}=40^\circ\). Chứng minh Oz chia đôi góc xOy.

Phân tích

Điều kiện nằm trong góc đã có. Cần tính góc còn lại, không kết luận chỉ từ hình vẽ.

Lời giải

Bước 1: Vì Oz nằm trong góc, \(\widehat{xOz}+\widehat{zOy}=80^\circ\).

Bước 2: Tính \(\widehat{zOy}=80^\circ-40^\circ=40^\circ\).

Bước 3: Oz chung gốc O, nằm trong góc và hai góc bằng nhau, nên đáp ứng đủ định nghĩa.

Đáp án

Oz là tia phân giác của góc xOy.

Bài 7. Dùng hai tam giác bằng nhau

Đề bài: Lấy A thuộc Ox, B thuộc Oy sao cho \(OA=OB> 0\). M nằm trong góc xOy, thỏa mãn \(MA=MB\). Chứng minh OM chia đôi góc xOy.

Phân tích

Hai tam giác OAM và OBM có hai cặp cạnh đã cho bằng nhau và cạnh OM chung. Dùng trường hợp cạnh–cạnh–cạnh để suy ra góc tương ứng.

Lời giải

Bước 1: Xét hai tam giác OAM, OBM: \(OA=OB\), \(MA=MB\) theo giả thiết; \(OM=OM\) là cạnh chung.

Bước 2: Suy ra \(\triangle OAM=\triangle OBM\) theo cạnh–cạnh–cạnh. Do đó \(\widehat{AOM}=\widehat{MOB}\).

Bước 3: Vì A thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy và \(OA=OB> 0\) nên tia OA trùng với tia Ox, tia OB trùng với tia Oy. Do đó \(\widehat{xOM}=\widehat{AOM}\) và \(\widehat{MOy}=\widehat{MOB}\). Kết hợp hai góc bằng nhau đã chứng minh ở Bước 2, suy ra \(\widehat{xOM}=\widehat{MOy}\).

Đáp án

Vì M nằm trong góc xOy nên tia OM nằm trong góc đó. Kết hợp với hai góc vừa chứng minh bằng nhau, OM là tia phân giác của góc xOy.

Bài 8. Dùng khoảng cách đến hai cạnh

Đề bài: M nằm trong góc xOy có số đo lớn hơn 0° và nhỏ hơn 180°. Kẻ \(MA\perp Ox\), \(MB\perp Oy\); biết \(MA=MB=3\) cm. Chứng minh OM chia đôi góc xOy.

Phân tích

Hai đoạn đã cho là khoảng cách vì có điều kiện vuông góc. M còn nằm trong góc, đủ để dùng tính chất đảo.

Lời giải

Bước 1: Xác định khoảng cách từ M đến hai đường thẳng chứa cạnh lần lượt là MA, MB.

Bước 2: Vì \(MA=MB=3\) cm, M cách đều hai cạnh của góc.

Bước 3: Kết hợp M ở trong góc, suy ra M nằm trên hướng chia đôi góc. Tia từ O qua M vì thế là tia cần chứng minh.

Đáp án

OM là tia phân giác của góc xOy.

Bài tập đường phân giác trong tam giác

Bài 9. Kết hợp tính chất tam giác cân

Đề bài: Tam giác ABC cân tại A, D nằm trên cạnh BC (D khác B, C), AD là đường phân giác và \(\widehat{BAD}=28^\circ\). Tính góc A; chứng minh D là trung điểm BC và \(AD\perp BC\).

Phân tích

Trước hết chia góc A thành hai góc bằng nhau. Muốn kết luận trung điểm và vuông góc, cần chứng minh hai tam giác bằng nhau; không chỉ dựa vào hình cân đối.

Lời giải

Bước 1: Có \(\widehat{DAC}=28^\circ\), nên \(\widehat{BAC}=28^\circ+28^\circ=56^\circ\).

Bước 2: Xét hai tam giác BAD, CAD: \(AB=AC\) vì tam giác cân; \(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\); AD là cạnh chung.

Bước 3: Hai tam giác bằng nhau theo cạnh–góc–cạnh. Suy ra \(BD=DC\) và \(\widehat{BDA}=\widehat{ADC}\).

Bước 4: D thuộc BC nên hai góc tại D kề bù. Chúng bằng nhau nên mỗi góc bằng \(180^\circ:2=90^\circ\); do đó \(AD\perp BC\).

Đáp án

Góc A bằng \(56^\circ\). D là trung điểm BC; AD vừa là đường phân giác xuất phát từ A, vừa là đường trung tuyến và đường cao của tam giác ABC.

Bài 10. Vận dụng tính chất đồng quy để tính góc

Đề bài: Tam giác ABC có \(\widehat{A}=72^\circ\), \(\widehat{B}=48^\circ\). Hai đường phân giác trong AM và BN cắt nhau tại I. Tính \(\widehat{ACI}\) và \(\widehat{ICB}\).

Phân tích: Tính góc C từ tổng ba góc của tam giác, sau đó dùng sự đồng quy để xác định tia CI là tia phân giác.

Lời giải: Tổng ba góc tam giác bằng 180°, nên \(\widehat{ACB}=180^\circ-72^\circ-48^\circ=60^\circ\). Hai đường phân giác AM, BN cắt nhau tại I, nên đường phân giác trong từ C cũng đi qua I. Vì vậy \(\widehat{ACI}=\widehat{ICB}=60^\circ:2=30^\circ\).

Đáp án: \(\widehat{ACI}=\widehat{ICB}=30^\circ\).

Bài 11. Tính khoảng cách tới cạnh còn lại

Đề bài: I là giao điểm các đường phân giác tam giác ABC. Kẻ \(IP\perp AB\), \(IQ\perp BC\), \(IR\perp CA\). Biết \(IP=2{,}5\) cm, \(IQ=2{,}5\) cm. Tính IR.

Phân tích

I cách đều ba cạnh; các đoạn đã cho đều vuông góc nên biểu diễn đúng khoảng cách.

Lời giải

Bước 1: Nhận diện IP, IQ, IR lần lượt là khoảng cách từ I đến AB, BC, CA.

Bước 2: Do I là điểm đồng quy, có \(IP=IQ=IR\).

Bước 3: Thay \(IP=2{,}5\) cm, suy ra \(IR=2{,}5\) cm, cùng bằng IQ.

Đáp án\[IR=2{,}5\text{ cm}\]

Những nhầm lẫn thường gặp về tia phân giác

Khi xét một điểm cách đều hai đầu mút đoạn thẳng, đó là kiến thức về đường trung trực, khác với cách đều hai cạnh của một góc. Việc gọi đúng đối tượng giúp tránh chọn nhầm tính chất.

Tia phân giác của một góc là tia có gốc tại đỉnh, nằm trong góc và chia góc thành hai góc bằng nhau. Mỗi góc nhỏ có số đo bằng một nửa góc ban đầu. Khi tính góc hoặc chứng minh tia phân giác, học sinh cần kiểm tra cả vị trí của tia và quan hệ bằng nhau giữa hai góc.

Trong tam giác, ba đường phân giác trong đồng quy tại một điểm cách đều ba cạnh. Học sinh có thể ôn tập các chuyên đề Toán 7 theo bộ sách Kết nối tri thức để luyện tập và phân biệt đường phân giác với đường trung tuyến, đường cao.