Bài tập các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm giúp học sinh lớp 12 tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn, từ đó so sánh độ phân tán và mức độ đồng đều của các mẫu số liệu. Bài viết hệ thống công thức, phương pháp giải từng dạng và bài tập từ nhận biết đến vận dụng cao, kèm phân tích đề và lời giải chi tiết.

Kiến thức cần nhớ trước khi giải bài tập số liệu ghép nhóm

Mẫu ghép nhóm trình bày dữ liệu theo khoảng và tần số. Tần số là số quan sát thuộc nhóm; tổng tần số là cỡ mẫu. Bảng này thường không cho biết từng giá trị gốc. [1]

Khoảng biến thiên là hiệu đầu mút phải nhóm cuối và đầu mút trái nhóm đầu có dữ liệu. [1] Đại lượng này dễ tính nhưng chưa phản ánh phân bố bên trong.

Khoảng tứ phân vị là hiệu tứ phân vị thứ ba và thứ nhất, mô tả độ phân tán của khoảng 50% số liệu giữa. Hai tứ phân vị được xác định từ tần số tích lũy và vị trí một phần tư, ba phần tư cỡ mẫu. [1]

Phương sai là trung bình có trọng số của bình phương độ lệch giữa trung điểm nhóm và số trung bình. Độ lệch chuẩn là căn bậc hai không âm của phương sai, có đơn vị gốc. [1]

Các công thức quan trọng về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Với nhóm đầu có dữ liệu bắt đầu tại a và nhóm cuối có dữ liệu kết thúc tại b:

\[R=b-a.\]

Không lấy đầu mút của nhóm có tần số 0 ở hai đầu bảng. Khoảng biến thiên ghép nhóm là giá trị xấp xỉ và không nhỏ hơn khoảng biến thiên của mẫu gốc.

Với cỡ mẫu \(n\), tính hai mốc nội suy \(n/4\) và \(3n/4\). Chọn nhóm có tần số tích lũy lần đầu đạt hoặc vượt mốc cần xét. Nếu mốc trùng tần số tích lũy cuối nhóm, công thức cho đầu mút phải của nhóm đó. Với các nhóm liên tiếp, đây cũng là đầu mút trái của nhóm kề sau; cần phân biệt nhóm dùng để nội suy với khoảng nửa kín thực sự chứa giá trị tứ phân vị.

Gọi L, h, f lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số nhóm được chọn; C là tổng tần số các nhóm đứng trước. Chỉ số 1 hoặc 3 chỉ nhóm chứa tứ phân vị tương ứng. Các nhóm được sắp theo thứ tự tăng, có độ dài hữu hạn; nhóm dùng để nội suy phải có tần số f > 0.

\[\begin{aligned}Q_1&=L_1+\frac{n/4-C_1}{f_1}h_1,\\Q_3&=L_3+\frac{3n/4-C_3}{f_3}h_3.\end{aligned}\]

Nội suy là ước tính vị trí trong nhóm theo phần tần số cần đi thêm. C không chứa tần số nhóm đang xét.

Khoảng tứ phân vị nhỏ cho thấy nửa giữa ít phân tán và ít chịu ảnh hưởng của các giá trị ở hai đầu. Học sinh có thể ôn cách nội suy trong bài khoảng tứ phân vị.

Các công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm

Với k nhóm, gọi \(n_i\) là tần số và \(c_i\) là trung điểm nhóm thứ i. Các ký hiệu cần dùng:

\[\begin{aligned}c_i&=\frac{a_i+b_i}{2},\\n&=\sum_{i=1}^{k}n_i,\\\bar{x}&=\frac{\sum_{i=1}^{k}n_ic_i}{n}.\end{aligned}\]

Phương sai và độ lệch chuẩn được tính như sau:

\[\begin{aligned}s^2&=\frac{\sum_{i=1}^{k}n_i(c_i-\bar{x})^2}{n}\\&=\frac{\sum_{i=1}^{k}n_ic_i^2}{n}-\bar{x}^2.\end{aligned}\]

\[s=\sqrt{s^2}.\]

Ở đây mẫu số là n, không phải n trừ 1 của phương sai hiệu chỉnh. Khi cùng đại lượng và đơn vị, s nhỏ hơn biểu thị độ phân tán quanh trung bình thấp hơn.

Phương sai có đơn vị bình phương, độ lệch chuẩn có đơn vị gốc. Chúng cho cùng thứ tự so sánh vì căn bậc hai tăng trên các số không âm.

Mẫu gốc sử dụng từng quan sát; mẫu ghép nhóm thay chúng bằng trung điểm. Kết quả chỉ xấp xỉ số đo mẫu gốc; phương sai ghép nhóm không luôn lớn hơn hoặc luôn nhỏ hơn phương sai gốc.

Khi so sánh, cần xét cùng đại lượng, cùng đơn vị đo và bối cảnh tương đương. Nếu hai mẫu có số trung bình chênh lệch rất lớn, không nên chỉ dựa vào độ lệch chuẩn để kết luận mẫu nào ổn định hơn theo nghĩa tương đối hoặc phương án nào ít rủi ro hơn. [1]

Học sinh có thể ôn lại ý nghĩa, công thức và quy trình tính trong bài phương sai lớp 12.

Các dạng bài tập các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Quy trình chung gồm: đọc khoảng nhóm và tần số; xác định số đặc trưng cần tính; lập tần số tích lũy hoặc bảng giá trị đại diện; thay công thức, ghi đơn vị và diễn giải kết quả. Không dùng công thức của mẫu số liệu không ghép nhóm cho từng đầu mút nhóm.

Bài 1: Tính khoảng biến thiên

Bài tập minh họa

Đề bài

Tính khoảng biến thiên của mẫu thời gian làm bài kiểm tra sau.

Phân tích đề bài

Hai nhóm ngoài cùng rỗng. Cần tìm hai nhóm đầu, cuối có dữ liệu trước khi lấy hiệu đầu mút.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Bỏ hai nhóm tần số 0 ở hai đầu. Nhóm đầu có dữ liệu là \([10;20)\), nhóm cuối là \([30;40)\).

Bước 2: Tính theo đầu mút của hai nhóm:

\[R=40-10=30\text{ (phút)}.\]

Bước 3: Kiểm tra: mọi quan sát đều từ 10 đến dưới 40 phút. Không thể kết luận mẫu gốc có quan sát đúng bằng 10 hoặc 40.

Đáp án

Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là 30 phút.

Bài 2: Tính khoảng tứ phân vị

Bài tập minh họa

Đề bài

Tính khoảng tứ phân vị của thời gian tự học mỗi ngày trong bảng sau.

Phân tích đề bài

Xác định riêng nhóm chứa \(Q_1\), \(Q_3\) rồi nội suy; không lấy trung điểm làm tứ phân vị.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Tính \(n=4+8+16+8+4=40\). Lập tần số tích lũy:

Bước 2: Vị trí \(n/4=10\) thuộc nhóm \([10;20)\), vì \(4< 10< 12\). Do đó:

\[Q_1=10+\frac{10-4}{8}\cdot10=17{,}5\text{ (phút)}.\]

Bước 3: Vị trí \(3n/4=30\) thuộc nhóm \([30;40)\), vì \(28< 30< 36\). Suy ra:

\[Q_3=30+\frac{30-28}{8}\cdot10=32{,}5\text{ (phút)}.\]

Bước 4: Lấy hiệu và kiểm tra hai kết quả nằm trong nhóm tương ứng:

\[\Delta_Q=32{,}5-17{,}5=15\text{ (phút)}.\]

Đáp án

Khoảng tứ phân vị bằng 15 phút.

Bài 3: Tính phương sai

Bài tập minh họa

Đề bài

Tính phương sai của thời gian chờ phục vụ theo bảng ghép nhóm.

Phân tích đề bài

Tính trung điểm với trọng số là tần số. Dùng trung bình bình phương trừ bình phương trung bình.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Xác định trung điểm và lập bảng phụ:

Bước 2: Tính số trung bình:

\[\bar{x}=\frac{60}{20}=3\text{ (phút)}.\]

Bước 3: Tính phương sai:

\[\begin{aligned}s^2&=\frac{212}{20}-3^2\\&=10{,}6-9=1{,}6\;\text{(phút)}^2.\end{aligned}\]

Bước 4: Kiểm tra bằng công thức độ lệch:

\[\begin{aligned}s^2&=\frac{4\cdot4+12\cdot0+4\cdot4}{20}\\&=\frac{32}{20}=1{,}6.\end{aligned}\]

Đáp án

Phương sai bằng \(1{,}6\) phút bình phương.

Bài 4: Tính độ lệch chuẩn

Bài tập minh họa

Đề bài

Tính độ lệch chuẩn của thời gian vận hành dưới đây; làm tròn đến hai chữ số thập phân.

Phân tích đề bài

Tính phương sai rồi lấy căn. Kết quả có đơn vị giờ.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Trung điểm là 1, 3, 5; tổng tần số là 20. Tính:

\[\bar{x}=\frac{5\cdot1+10\cdot3+5\cdot5}{20}=3.\]

Bước 2: Tính phương sai:

\[\begin{aligned}s^2&=\frac{5\cdot4+10\cdot0+5\cdot4}{20}\\&=\frac{40}{20}=2.\end{aligned}\]

Bước 3: Lấy căn và làm tròn ở kết quả cuối:

\[s=\sqrt{2}\approx1{,}41\text{ (giờ)}.\]

Đáp án

Độ lệch chuẩn xấp xỉ \(1{,}41\) giờ.

Để tính nhanh, lập bảng phụ như Bài 3 hoặc nhập trung điểm, tần số vào thống kê một biến. Chọn độ lệch chuẩn chia n, thường ký hiệu \(\sigma_x\), thay vì kết quả hiệu chỉnh chia n trừ 1. Giữ đủ chữ số trung gian.

Bài tập các số đặc trưng đo mức độ phân tán có lời giải theo mức độ

Bài 5. Nhận biết đơn vị và quan hệ giữa hai đại lượng

Bài tập minh họa

Đề bài

Mẫu chiều cao ghép nhóm có phương sai 9 cm bình phương. Tìm độ lệch chuẩn và đơn vị.

Phân tích đề bài

Đề cho phương sai; chỉ cần lấy căn không âm, dùng đơn vị gốc.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Xác định \(s^2=9\).

Bước 2: Tính \(s=\sqrt{9}=3\).

Bước 3: Kiểm tra đơn vị: căn của cm bình phương là cm, không phải cm bình phương.

Đáp án

Độ lệch chuẩn bằng 3 cm.

Bài 6. Thông hiểu ảnh hưởng của việc cộng cùng một số

Bài tập minh họa

Đề bài

Mẫu ghép nhóm có số trung bình 30 phút và độ lệch chuẩn 4 phút. Cộng thêm 5 phút vào mọi quan sát, đồng thời dịch mọi khoảng nhóm thêm 5 phút. Tìm trung bình và độ lệch chuẩn mới.

Phân tích đề bài

Trung điểm, trung bình cùng tăng 5; tần số giữ nguyên. Xét độ lệch mới.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Trung bình mới bằng \(\bar{x}_{\text{mới}}=30+5=35\) phút.

Bước 2: Với mọi nhóm, độ lệch mới là:

\[(c_i+5)-(\bar{x}+5)=c_i-\bar{x}.\]

Bước 3: Bình phương độ lệch và tần số không đổi, nên phương sai vẫn bằng \(s_{\text{mới}}^2=4^2=16\) phút bình phương. Độ lệch chuẩn mới là \(s_{\text{mới}}=\sqrt{16}=4\) phút.

Đáp án

Trung bình mới là 35 phút; độ lệch chuẩn vẫn là 4 phút.

Bài 7. Vận dụng khoảng tứ phân vị để so sánh

Bài tập minh họa

Đề bài

Hai mẫu thời gian đi học có tứ phân vị như sau. Quy ước thời gian ổn định nếu IQR không quá 10 phút. Mẫu nào đáp ứng tiêu chí này?

Phân tích đề bài

Dùng IQR đánh giá nửa giữa, rồi đối chiếu ngưỡng 10 phút; không so sánh riêng từng tứ phân vị.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Với mẫu A, tính \(\Delta_{Q,A}=30-18=12\) phút.

Bước 2: Với mẫu B, tính \(\Delta_{Q,B}=29-20=9\) phút.

Bước 3: Vì \(9\le10< 12\), chỉ mẫu B đạt ngưỡng ổn định. Kết quả chưa cho biết trung bình hoặc toàn bộ phân bố.

Đáp án

Chỉ mẫu B đáp ứng tiêu chí IQR không quá 10 phút.

Bài 8: Tìm tần số chưa biết và khoảng tứ phân vị (vận dụng)

Bài tập minh họa

Đề bài

Cho bảng thời gian chờ dưới đây, với m là số nguyên dương. Biết phương sai ghép nhóm bằng 2 phút bình phương. Tìm m và khoảng tứ phân vị.

Phân tích đề bài

Hai nhóm ngoài đối xứng qua 3 và có tần số bằng nhau. Tính trung bình theo m, lập phương trình phương sai; giữ điều kiện m nguyên dương. Sau khi tìm m mới xác định tứ phân vị.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Cỡ mẫu là \(2m+8\). Trung bình:

\[\begin{aligned}\bar{x}&=\frac{m\cdot1+8\cdot3+m\cdot5}{2m+8}\\&=\frac{6m+24}{2m+8}=3.\end{aligned}\]

Bước 2: Lập phương trình phương sai:

\[\begin{aligned}s^2&=\frac{m(1-3)^2+8(3-3)^2}{2m+8}\\&\quad+\frac{m(5-3)^2}{2m+8}\\&=\frac{8m}{2m+8}=2.\end{aligned}\]

Bước 3: Vì \(2m+8> 0\), biến đổi:

\[\begin{aligned}\frac{8m}{2m+8}=2&\Rightarrow8m=4m+16\\&\Rightarrow4m=16\\&\Rightarrow m=4.\end{aligned}\]

Bước 4: Giá trị 4 là số nguyên dương. Thay lại được \(n=16\) và \(s^2=32/16=2\), đúng giả thiết.

Bước 5: Tần số tích lũy là 4, 12, 16. Các mốc nội suy \(n/4=4\), \(3n/4=12\) bằng tần số tích lũy cuối nhóm thứ nhất và thứ hai. Nội suy tại hai ranh giới nhóm cho

\[\begin{aligned}Q_1&=0+\frac{4-0}{4}\cdot2=2,\\Q_3&=2+\frac{12-4}{8}\cdot2=4.\end{aligned}\]

Vậy \(\Delta_Q=4-2=2\) phút.

Đáp án

\[m=4;\qquad \Delta_Q=2\text{ (phút)}.\]

Bài 9. Trắc nghiệm đúng–sai có đáp án

Bài tập minh họa

Đề bài

Cho bảng thời gian chờ sau. Xác định đúng hoặc sai cho từng mệnh đề.

a) Cỡ mẫu bằng 20.

b) Khoảng biến thiên ghép nhóm bằng 4 phút.

c) Phương sai bằng \(1{,}6\) phút bình phương.

d) Độ lệch chuẩn bằng \(1{,}6\) phút.

Phân tích đề bài

Kiểm tra riêng bốn ý; tránh lấy hiệu trung điểm làm R hoặc nhầm phương sai với độ lệch chuẩn.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Cộng tần số được \(n=4+12+4=20\) nên a đúng. Hai nhóm ngoài có dữ liệu cho \(R=6-0=6\) phút, nên b sai.

Bước 2: Trung điểm là 1, 3, 5 và trung bình bằng \(\bar{x}=(4+36+20)/20=3\). Do đó:

\[\begin{aligned}s^2&=\frac{4\cdot1^2+12\cdot3^2+4\cdot5^2}{20}-3^2\\&=\frac{212}{20}-9=1{,}6.\end{aligned}\]

Vì vậy c đúng.

Bước 3: Lấy căn được \(s=\sqrt{1{,}6}\approx1{,}265\) phút, khác \(1{,}6\) phút, nên d sai.

Đáp án

Bài tập ứng dụng thực tế và những lỗi thường gặp

Bài 10. So sánh độ đồng đều của hai dây chuyền

Bài tập minh họa

Đề bài

Đường kính sản phẩm của hai dây chuyền A, B được ghép nhóm như sau. So sánh độ đồng đều theo độ lệch chuẩn ghép nhóm.

Phân tích đề bài

Hai mẫu cùng đại lượng, đơn vị và khoảng nhóm. Tính trung bình rồi so sánh độ lệch chuẩn; khoảng biến thiên giống nhau chưa đủ kết luận.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Các trung điểm là 9, 10, 11; mỗi mẫu có 10 sản phẩm. Tính:

\[\begin{aligned}\bar{x}_A&=\frac{2\cdot9+6\cdot10+2\cdot11}{10}=10,\\\bar{x}_B&=\frac{4\cdot9+2\cdot10+4\cdot11}{10}=10.\end{aligned}\]

Bước 2: Tính từng phương sai:

\[\begin{aligned}s_A^2&=\frac{2\cdot1+6\cdot0+2\cdot1}{10}\\&=0{,}4.\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}s_B^2&=\frac{4\cdot1+2\cdot0+4\cdot1}{10}\\&=0{,}8.\end{aligned}\]

Bước 3: Lấy căn và so sánh:

\[\begin{aligned}s_A&=\sqrt{0{,}4}\approx0{,}632\,\mathrm{mm},\\s_B&=\sqrt{0{,}8}\approx0{,}894\,\mathrm{mm}.\end{aligned}\]

Đáp án

Dây chuyền A đồng đều hơn theo độ lệch chuẩn ghép nhóm. Điều này chưa khẳng định mọi sản phẩm đạt chuẩn kỹ thuật; cần biết thêm giới hạn cho phép và số đo cụ thể.

Trong kinh tế, có thể mô tả chênh lệch thu nhập, biến động doanh thu; trong xã hội, so sánh thời gian di chuyển, tiếp cận dịch vụ. Luôn xét cả trung bình, đơn vị và bối cảnh.

Đoạn từ Q₁ đến Q₃ biểu thị khoảng 50% số liệu ở giữa. Khoảng tứ phân vị nhỏ không bảo đảm mọi quan sát đều gần nhau.

Bài 11: So sánh mức độ rủi ro theo độ lệch chuẩn

Đề bài: Hai phương án đầu tư A và B có cùng số vốn ban đầu. Lợi nhuận trong 10 tháng của mỗi phương án được ghép nhóm như sau. Theo tiêu chí độ lệch chuẩn của lợi nhuận, phương án nào ít rủi ro hơn?

Lời giải: Ba giá trị đại diện là 12, 16, 20. Hai mẫu đối xứng qua 16 nên có cùng số trung bình:

\[\bar{x}_A=\bar{x}_B=16\]

Phương sai và độ lệch chuẩn của hai mẫu lần lượt là:

\[\begin{aligned}s_A^2&=\frac{1\cdot16+8\cdot0+1\cdot16}{10}\\&=3{,}2,\\s_A&=\sqrt{3{,}2}\approx1{,}789.\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}s_B^2&=\frac{3\cdot16+4\cdot0+3\cdot16}{10}\\&=9{,}6,\\s_B&=\sqrt{9{,}6}\approx3{,}098.\end{aligned}\]

Trong đó, phương sai có đơn vị (triệu đồng)² và độ lệch chuẩn có đơn vị triệu đồng. Vì hai phương án có cùng vốn ban đầu, cùng lợi nhuận trung bình và \(s_A<s_B\), phương án A ít rủi ro hơn theo tiêu chí độ lệch chuẩn của lợi nhuận trong mẫu đã cho. Đây không phải kết luận về mọi loại rủi ro đầu tư.

Những lỗi thường gặp khi giải bài tập

Kết quả phương sai phải không âm. Nếu tính ra số âm đáng kể, hãy kiểm tra dữ liệu nhập và phép bình phương; một sai số âm rất nhỏ có thể do làm tròn. Với bảng phụ, tổng tần số phải khớp cỡ mẫu và trung bình phải nằm giữa các trung điểm có dữ liệu.

Bài tập các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm giúp học sinh vận dụng công thức khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn. Khi giải, cần xác định đúng nhóm có dữ liệu, tần số và giá trị đại diện; kiểm tra đơn vị, chỉ làm tròn ở kết quả cuối và diễn giải theo bối cảnh đề bài. Người học có thể củng cố kiến thức thống kê và luyện tập thêm tại chuyên mục Toán 12.