Công thức logarit lớp 11 | Bảng công thức và cách áp dụng

Công thức logarit là kiến thức nền tảng trong chương Hàm số mũ và hàm số lôgarit của Toán 11, giúp học sinh tính giá trị, rút gọn biểu thức và giải phương trình, bất phương trình logarit.

Bài viết hệ thống bảng công thức logarit cơ bản, quy tắc logarit của tích, thương, lũy thừa, công thức đổi cơ số và công thức ln; kèm điều kiện áp dụng, bài tập tự luận và trắc nghiệm từ cơ bản đến nâng cao.

Bảng công thức logarit lớp 11

Các công thức dưới đây dùng với cơ số a > 0, a ≠ 1; điều kiện bổ sung được ghi ở từng dòng. [1]

Định nghĩa logarit và điều kiện xác định

Cho a là một số thực dương khác 1 và M là một số thực dương. Số thực \(\alpha\) để \(a^{\alpha}=M\) được gọi là logarit cơ số a của M, ký hiệu là \(\log_{a}M\). [1]

\[\alpha=\log_aM\quad\Longleftrightarrow\quad a^\alpha=M.\]

Điều kiện xác định của logarit:

Để biểu thức logarit có giá trị thực, cần đồng thời thỏa mãn:

• Cơ số a: a > 0 và a ≠ 1.

• Biểu thức lấy logarit M: M > 0.

Nếu thiếu một trong hai điều kiện trên, biểu thức logarit sẽ không xác định. Việc xác định điều kiện tồn tại của logarit là bước đầu tiên và quan trọng nhất khi giải các bài toán biến đổi hoặc phương trình lôgarit.

Kiến thức về cơ số và tập xác định cũng được dùng khi học hàm số mũ và hàm số logarit.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức logarit sau dựa vào định nghĩa:

a) A = \(\log_216\)

b) B = \(\log_3\frac{1}{27}\)

c) C = \(\log_{\sqrt5}25\)

Hướng dẫn giải

a) Có \(2^4\) = 16, do đó theo định nghĩa logarit: A = \(\log_216\) = 4.

b) Vì \(3^{-3}=\frac{1}{27}\), áp dụng định nghĩa ta có: B = \(\log_3\frac{1}{27}\) = -3.

c) Có \(\left(\sqrt5\right)^4=5^2=25\), suy ra: C = \(\log_{\sqrt5}25\) = 4.

Các tính chất logarit cơ bản

Từ định nghĩa logarit có thể suy ra các đẳng thức nền tảng dưới đây. Những tính chất này giúp thực hiện các phép tính nhẩm nhanh chóng mà không cần phụ thuộc hoàn toàn vào máy tính cầm tay.

Các đẳng thức nền tảng:

Với \(a>0\), \(a\ne1\), \(M>0\) và \(\alpha\in\mathbb R\), các tính chất sau luôn đúng:

1. \(\log_{a}1=0\) (Logarit cơ số a của 1 luôn bằng 0).

2. \(\log_{a}a=1\) (Logarit cơ số a của chính a luôn bằng 1).

3. \(a^{\log_{a}M}=M\) (Nâng cơ số a lên mũ \(\log_{a}M\) sẽ trả về chính số M).

4. \(\log_a\left(a^\alpha\right)=\alpha\) với mọi số thực \(\alpha\).

Ví dụ minh họa áp dụng tính chất cơ bản:

Ví dụ 2: Tính nhanh giá trị của các biểu thức sau:

a) P = \(7^{\log_710}\)

b) Q = \(\log_5125\)

c) R = \(\log_2\left(2^{\sqrt3}\right)\)

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng tính chất \(a^{\log_{a}M}=M\), ta có ngay: P = \(7^{\log_710}\) = 10.

b) Vì \(125=5^3\), nên \(Q=\log_5(5^3)=3\).

c) Áp dụng công thức \(\log_a\left(a^\alpha\right)=\alpha\), ta thu được: R = \(\log_2\left(2^{\sqrt3}\right)\) = \(\sqrt3\).

Quy tắc tính logarit của một tích, một thương và một lũy thừa

Để rút gọn các biểu thức cồng kềnh, người học cần áp dụng thành thạo các công thức logarit liên quan đến phép toán cộng, trừ và nâng lên lũy thừa.

Logarit của một tích

Logarit của một tích hai số thực dương bằng tổng các logarit của từng thừa số cùng cơ số.

\(\log_{a}\left(M\cdot N\right)=\log_{a}M+\log_{a}N\) (0 < a \(\ne\)1, M > 0, N > 0)

Mở rộng: Công thức trên có thể áp dụng cho tích của n số thực dương:

\[\log_{a}\left(M_1\cdot M_2\ldots M_{n}\right)=\log_{a}M_1+\log_{a}M_2+\cdots+\log_{a}M_{n}\]

Logarit của một thương

Logarit của một thương hai số thực dương bằng hiệu các logarit của số bị chia và số chia cùng cơ số.

\(\log_{a}\left(\frac{M}{N}\right)=\log_{a}M-\log_{a}N\)(0 < a \(\ne\)1, M > 0, N > 0)

Trường hợp đặc biệt khi M = 1:

\[\log_{a}\left(\frac{1}{N}\right)=-\log_{a}N\]

Logarit của một lũy thừa và căn thức

Logarit của một lũy thừa bằng số mũ nhân với logarit của số được nâng lên lũy thừa, giữ nguyên cơ số logarit.

\(\log_{a}\left(M^{\alpha}\right)=\alpha\cdot \log_{a}M\)(0 < a \(\ne\)1, M > 0, \(\alpha\in\) R)

Đặc biệt, đối với căn thức bậc n (n\(\in\)N*, M > 0 và n \(\ge\)2), ta viết dưới dạng lũy thừa mũ phân số \(M^{\frac{1}{n}}\):

\[\log_{a}\sqrt[n]{M}=\frac{1}{n}\cdot \log_{a}M\]

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức K = \(\log_69+\log_64-\log_28\).

Hướng dẫn giải

Xét hai số hạng đầu tiên có cùng cơ số 6, áp dụng công thức logarit của một tích:

\[\log_69+\log_64=\log_6\left(9\cdot 4\right)=\log_636\]

Vì 36 = \(6^2\), nên \(\log_636=\log_66^2=2\).

Đối với số hạng thứ ba: \(\log_2 8=\log_2 \left( 2^3 \right)=3\).

Thay vào biểu thức K: K = 2 - 3 = -1.

Vậy K = -1.

Công thức đổi cơ số của logarit

Trong nhiều bài toán biến đổi phức tạp, các biểu thức chứa nhiều logarit khác cơ số. Khi đó, phép đổi cơ số là công cụ giúp đưa tất cả về cùng một cơ số chung.

Công thức tổng quát chuyển đổi cơ số:

Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn a > 0, a \(\ne\)1, 0 < b\(\ne\)1 và c > 0. Ta có công thức logarit đổi cơ số như sau:

\[\log_{a}c=\frac{\log_{b}c}{\log_{b}a}\]

Hay có thể viết dưới dạng tích:

\(\log_{a}c=\log_{a}b\cdot \log_{b}c\).

Các trường hợp đặc biệt:

Công thức nghịch đảo cơ số:

\[\log_ab=\frac1{\log_ba}.\]

Điều kiện: \(a>0\), \(a\ne1\), \(b>0\), \(b\ne1\). Nếu b = 1 thì vế trái bằng 0 nhưng vế phải không xác định.

Công thức đưa số mũ của cơ số ra ngoài:

\(\log_{a^{\beta}}M=\frac{1}{\beta}\log_{a}M\)(0 < a \(\ne\)1, \(\beta\ne\)0, M > 0)

Kết hợp tổng quát:

\[\log_{a^{\beta}}\left(M^{\alpha}\right)=\frac{\alpha}{\beta}\log_{a}M\]

Điều kiện của công thức tổng quát: \(a>0\), \(a\ne1\), \(M>0\), \(\alpha\in\mathbb R\), \(\beta\ne0\).

Tích các logarit: chỉ rút gọn theo quy tắc nối tiếp khi các cơ số và đối số phù hợp. Ví dụ \(\log_47\cdot\log_764=\log_464=3\); không có quy tắc cộng hai đối số để thay cho một tích logarit bất kỳ.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức H = \(\log_48+\log_927-\log_{27}81\) mà không dùng máy tính cầm tay.

Hướng dẫn giải

Ta đưa các cơ số và số bị logarit về dạng lũy thừa của các số nguyên tố 2 và 3:

• \[\log_48=\log_{2^2}\left(2^3\right)=\frac32\log_22=\frac32\]

• \[\log_927=\log_{3^2}\left(3^3\right)=\frac32\log_33=\frac32\]

• \[\log_{27}81=\log_{3^3}\left(3^4\right)=\frac43\log_33=\frac43\]

Thay các kết quả vừa tính vào H:

H = \(\log_48+\log_927-\log_{27}81\)= \(\frac32+\frac32-\frac43=3-\frac43=\frac53\)

Vậy H = \(\frac53\).

Logarit thập phân và logarit tự nhiên

Logarit thập phân và logarit cơ số e

Định nghĩa logarit thập phân: Logarit cơ số 10 của một số dương M gọi là logarit thập phân của M, kí hiệu là logM hoặc lgM (đọc là lốc của M). [1]

Ví dụ: \(\log100=2\), \(\lg0{,}001=-3\).

Định nghĩa logarit tự nhiên: Logarit cơ số e của một số dương M gọi là logarit tự nhiên của M, kí hiệu là lnM (đọc là logarit Nêpe của M). [1]

Số e là hằng số vô tỉ, \(e\approx2{,}71828\). Ví dụ: \(\ln e=1\), \(\ln1=0\), \(\ln(e^5)=5\).

Bảng công thức ln

Với M, N > 0 và α là số thực, logarit tự nhiên có cùng quy tắc biến đổi:

Các công thức ln ở đây dùng để tính và biến đổi biểu thức. Công thức đạo hàm là nội dung khác, được trình bày trong bài đạo hàm logarit và ln.

Ứng dụng công thức ln trong bài toán lãi kép

Mô hình giả định gửi P đồng, lãi suất r mỗi kỳ không đổi, lãi được nhập vào vốn cuối mỗi kỳ và không rút tiền. Sau n kỳ, số tiền cả gốc lẫn lãi là:

A = \(P\left(1+r\right)^{n}\)

Để tìm số kỳ hạn n cần thiết để thu về số tiền A, lấy logarit tự nhiên hai vế:

lnA = \(\ln\left\lbrack P\left(1+r\right)^{n}\right\rbrack\)= lnP + n.ln(1 + r)

Từ đó rút ra công thức tính số kỳ hạn n:

\[n=\frac{\ln(A/P)}{\ln(1+r)}.\]

Ở đây P > 0, A > P và r > 0. Nếu đề hỏi số kỳ nguyên ít nhất để đạt hoặc vượt A, cần làm tròn lên giá trị tìm được; có thể thay hai số nguyên kề nhau vào mô hình để kiểm tra.

Ví dụ áp dụng: Một người gửi 120 triệu đồng, lãi suất không đổi 7%/năm, kỳ hạn 12 tháng; lãi nhập gốc cuối mỗi năm. Hỏi cần gửi ít nhất bao nhiêu năm để tổng tiền đạt ít nhất 190 triệu đồng?

Hướng dẫn giải

Gọi n là số năm gửi, n là số nguyên không âm. Theo mô hình:

\[120(1{,}07)^n\ge190\quad\Longleftrightarrow\quad n\ge\frac{\ln(190/120)}{\ln1{,}07}.\]

\[n\ge6{,}7919\ldots\]

Vậy cần ít nhất 7 năm. Sau 6 năm có khoảng 180,09 triệu đồng, chưa đạt yêu cầu; sau 7 năm có khoảng 192,69 triệu đồng, đã vượt 190 triệu đồng.

Bài tập vận dụng công thức logarit

Để ghi nhớ kiến thức, học sinh lớp 11 cần luyện tập qua 3 dạng toán điển hình dưới đây.

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức bằng định nghĩa và tính chất cơ bản

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức A = \(\log_315+\log_335-\log_3175\).

Hướng dẫn giải

Áp dụng quy tắc cộng và trừ logarit cùng cơ số 3:

A = \(\log_3\left(\frac{15\cdot 35}{175}\right)\)

Thực hiện phép tính trong ngoặc: 15 × 35 = 525 và \(\frac{525}{175}=3\).

Do đó: A = \(\log_33=1\).

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức B = \(4^{\log_25}+9^{\log_32}\).

Hướng dẫn giải

Biến đổi các cơ số về dạng lũy thừa:

• \[\begin{aligned}4^{\log_25}&=\left(2^2\right)^{\log_25}\\&=2^{2\cdot \log_25}\\&=2^{\log_2\left(5^2\right)}\\&=5^2\\&=25\end{aligned}\]

  .

• \[\begin{aligned}9^{\log_32}&=\left(3^2\right)^{\log_32}\\&=3^{2\cdot \log_32}\\&=3^{\log_3\left(2^2\right)}\\&=2^2\\&=4\end{aligned}\]

  .

Suy ra: B = 25 + 4 = 29.

Dạng 2: Rút gọn biểu thức logarit bằng quy tắc tích, thương, lũy thừa

Bài 3: Cho \(a>0\), \(a\ne1\), x > 0 và y > 0. Rút gọn biểu thức:

S = \(\log_{a}\left(x^3y^2\right)-2\log_{a}x+\log_{a}\left(\frac{1}{y}\right)\).

Hướng dẫn giải

Phân tích số hạng đầu tiên:

\[\begin{aligned}\log_{a}\left(x^3y^2\right)&=\log_{a}\left(x^3\right)+\log_{a}\left(y^2\right)\\&=3\log_{a}x+2\log_{a}y\end{aligned}\]

Phân tích số hạng thứ ba: \(\log_{a}\left(\frac{1}{y}\right)=-\log_{a}y\).

Thay tất cả vào S:

S =\(\log_{a}\left(x^3y^2\right)-2\log_{a}x+\log_{a}\left(\frac{1}{y}\right)\)

= \(\left(3\log_{a}x+2\log_{a}y\right)-2\log_{a}x-\log_{a}y\)

= \(\left(3\log_{a}x-2\log_{a}x\right)+\left(2\log_{a}y-\log_{a}y\right)\)

= \(\log_{a}x+\log_{a}y\)

= \(\log_{a}\left(xy\right)\)

Dạng 3: Biểu diễn một logarit theo các logarit đã cho bằng công thức đổi cơ số

Bài 4: Cho \(\log_23=a\) và \(\log_25=b\). Hãy biểu diễn \(\log_{12}90\) theo a và b.

Hướng dẫn giải

Sử dụng công thức đổi cơ số để đưa \(\log_{12}90\) về cơ số 2: \(\log_{12}90=\frac{\log_290}{\log_212}\)

Phân tích 90 và 12 thành thừa số nguyên tố:

• Vì 90 = \(2\cdot 3^2\cdot 5\) nên suy ra:

\[\log_2 90=\log_2 \left( 2\cdot3^2\cdot5 \right)\]

\[=\log_22+\log_2\left(3^2\right)+\log_25\]

\[=1+2\log_23+\log_25\]

\[=1+2a+b\]

• Vì \(12=2^2\cdot3\) nên suy ra:

\[\log_212=\log_2\left(2^2\cdot 3\right)\]

\[=\log_2\left(2^2\right)+\log_23\]

\[=2+\log_23\]

\[=2+a\]

Vậy có biểu diễn của \(\log_{12}90\): \(\log_{12}90=\frac{1+2a+b}{2+a}\)

Bài 5: Cho \(a>0\), \(a\ne1\), \(b>0\), \(\log a=x\), \(\log b=y\). Tính \(T=\log_a\sqrt{ab^3}\) theo x và y.

Do a ≠ 1 nên \(x=\log a\ne0\), vì vậy các phép chia cho x trong lời giải đều hợp lệ.

Hướng dẫn giải

Sử dụng công thức đổi cơ số về cơ số 10:

T =

\[\begin{aligned}\frac{\log\sqrt{ab^3}}{\log a}&=\frac{\log\left(ab^3\right)^{\frac12}}{\log a}\\&=\frac{\frac12\cdot \log\left(ab^3\right)}{\log a}\end{aligned}\]

Khai triển logarit của một tích:

\[\begin{aligned}\log\left(ab^3\right)&=\log a+\log\left(b^3\right)\\&=\log a+3\cdot \log b\\&=x+3y\end{aligned}\]

Thay vào biểu thức T:

T = \(\frac{\frac12\left(x+3y\right)}{x}=\frac{x+3y}{2x}\)

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Câu 1. Biểu thức \(\log_{x-2}(7-x)\) xác định khi nào?

A. \(2<x<7\). B. \(2<x<7,\ x\ne3\). C. \(x>2\). D. \(x<7\).

Câu 2. Giá trị của \(\log_57\cdot\log_7125\) là:

A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.

Câu 3. Với x ≠ 0, công thức nào đúng?

A. \(\ln(x^2)=2\ln x\) với mọi x ≠ 0. B. \(\ln(x^2)=2\ln|x|\). C. \(\ln(x^2)=(\ln|x|)^2\). D. \(\ln(x^2)=\ln(2x)\).

Đáp án và giải thích:

• Câu 1: B. Điều kiện là x − 2 > 0, x − 2 ≠ 1 và 7 − x > 0.

• Câu 2: C. Tích nối tiếp bằng \(\log_5125=3\).

• Câu 3: B. Vì \(x^2=|x|^2\) và |x| > 0, áp dụng quy tắc logarit của lũy thừa.

Những lỗi thường gặp khi biến đổi logarit

Nhầm logarit của tích với logarit của tổng

Quy tắc cộng, trừ logarit áp dụng cho logarit cùng cơ số và có đối số dương:

\[\log_aM+\log_aN=\log_a(MN).\]

Không có quy tắc tách logarit của tổng hoặc hiệu thành tổng hoặc hiệu các logarit. Ví dụ, logarit cơ số 2 của (2 + 6) bằng 3, còn tổng logarit cơ số 2 của 2 và 6 bằng logarit cơ số 2 của 12, khác 3.

Bỏ điều kiện khi đưa số mũ ra ngoài

Công thức \(\log_a(M^\alpha)=\alpha\log_aM\) trong bảng dùng với M > 0. Riêng bình phương, khi x ≠ 0:

\[\log_a(x^2)=2\log_a|x|.\]

Không được viết thành \(2\log_ax\) nếu chưa biết x > 0. Tương tự, \(\ln(x^2)=2\ln|x|\).

Đổi cơ số sai thứ tự hoặc dùng cơ số bằng 1

Khi đổi cơ số, logarit của đối số nằm ở tử, logarit của cơ số cũ nằm ở mẫu. Cơ số mới phải dương, khác 1; mẫu số phải khác 0. Với \(\log_ab\), a là cơ số và b là đối số, không được tự ý đổi vị trí hai số.

Nắm vững công thức logarit, từ định nghĩa đến quy tắc tích, thương, lũy thừa và đổi cơ số, giúp học sinh tính giá trị và rút gọn biểu thức chính xác. Khi vận dụng, cần kiểm tra điều kiện cơ số dương, khác 1 và biểu thức lấy logarit dương; đồng thời phân biệt công thức logarit của tích với logarit của tổng.

Học sinh có thể luyện tập thêm các chuyên đề Toán 11 tại ZIM Academy để củng cố kiến thức về hàm số mũ và logarit.