Hai đường tròn không giao nhau | Điều kiện và bài tập

Hai đường tròn không giao nhau là hai đường tròn không có điểm chung, gồm hai trường hợp: ngoài nhau và đường tròn này đựng đường tròn kia. Bài viết hệ thống định nghĩa, điều kiện nhận biết qua khoảng cách giữa hai tâm và hai bán kính, tính chất đường nối tâm, cùng các dạng bài tập có lời giải trong chương trình Toán 9.

Hai đường tròn không giao nhau là gì?

Hai đường tròn không giao nhau là hai đường tròn không có điểm chung nào. Xét hai đường tròn (O;R) và (O';r), trong đó R và r lần lượt là bán kính của hai đường tròn, OO' = d là khoảng cách giữa hai tâm.

Dựa vào vị trí tương đối, hai đường tròn không giao nhau được chia thành hai trường hợp:

• Hai đường tròn ngoài nhau: Hai đường tròn nằm tách biệt; hai hình tròn tương ứng không có phần chung.

• Đường tròn này đựng đường tròn kia: Một đường tròn nằm hoàn toàn bên trong đường tròn kia và không tiếp xúc với đường tròn bên ngoài.

Hai trường hợp này đều có điểm chung là không tồn tại giao điểm giữa hai đường tròn. Tuy nhiên, chúng khác nhau ở vị trí của hai tâm và mối quan hệ giữa khoảng cách hai tâm với bán kính của mỗi đường tròn.

Phân biệt với hai đường tròn cắt nhau và tiếp xúc nhau

Trong Bài 17, Vị trí tương đối của hai đường tròn, sách giáo khoa Toán 9, tập 1, bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, hai đường tròn phân biệt được xét theo ba trường hợp: cắt nhau khi có 2 điểm chung; tiếp xúc nhau khi có 1 điểm chung; không giao nhau khi có 0 điểm chung. [1]

Hai đường tròn phân biệt không thể có quá hai điểm chung. Nếu cùng đi qua ba điểm phân biệt thì ba điểm ấy không thẳng hàng và xác định duy nhất một đường tròn, nên hai đường tròn phải trùng nhau.

Lưu ý: “Hai đường tròn không cắt nhau” không đồng nghĩa với “hai đường tròn không giao nhau”: không cắt nhau còn có thể là tiếp xúc nhau. Khi cần phân biệt, học sinh đối chiếu số điểm chung và điều kiện hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Điều kiện để hai đường tròn không giao nhau

Cho hai đường tròn phân biệt (O; R), (O'; r), với R, r > 0. Đặt d = OO' là khoảng cách giữa hai tâm. Điều kiện tổng quát để hai đường tròn không giao nhau là:

\(d > R+r\)

hoặc

\(d < |R-r|\)

Điều kiện hai đường tròn ngoài nhau

Hai đường tròn (O;R) và (O';r) nằm ngoài nhau khi khoảng cách giữa hai tâm lớn hơn tổng hai bán kính:

\(OO' > R+r\)

Điều kiện trên cho thấy khoảng cách giữa hai tâm lớn hơn tổng bán kính, vì vậy khoảng trống giữa hai đường tròn luôn dương. Chẳng hạn, nếu R = 5 cm, r = 3cm và OO' = 9cm, ta có:

\(OO'=9\,\mathrm{cm}>8\,\mathrm{cm}=R+r\)

Do đó, hai đường tròn ngoài nhau.

Điều kiện đường tròn này đựng đường tròn kia

Giả sử R > r. Đường tròn (O;R) đựng đường tròn (O';r) và hai đường tròn không tiếp xúc khi khoảng cách giữa hai tâm nhỏ hơn hiệu hai bán kính:

\(OO'<R-r\)

Điều kiện này bảo đảm đường tròn nhỏ nằm hoàn toàn bên trong đường tròn lớn, đồng thời hai đường tròn không tiếp xúc và không có điểm chung.

Ví dụ, cho R = 7 cm, r = 2 cm và OO' = 3 cm. Ta có:

\(OO'=3\,\mathrm{cm}<5\,\mathrm{cm}=R-r\)

Vậy đường tròn (O;7 cm) đựng đường tròn (O';2 cm), và hai đường tròn không có điểm chung.

Trường hợp đặc biệt: Hai đường tròn đồng tâm

Hai đường tròn phân biệt đồng tâm có cùng tâm và bán kính khác nhau, tức là O ≡ O' và R ≠ r. Khi đó:

OO' = 0 < |R - r|.

Vì vậy, hai đường tròn đồng tâm không giao nhau; đường tròn có bán kính lớn hơn sẽ đựng đường tròn có bán kính nhỏ hơn. Đây là trường hợp đặc biệt của hai đường tròn đựng nhau.

So sánh điều kiện không giao nhau với điều kiện cắt nhau và tiếp xúc

Từ bảng trên, có thể rút ra ba điểm cần ghi nhớ:

• Không giao nhau: Khoảng cách hai tâm lớn hơn tổng hai bán kính hoặc nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của hiệu hai bán kính.

• Tiếp xúc nhau: Khoảng cách hai tâm bằng tổng hoặc hiệu hai bán kính.

• Cắt nhau: Khoảng cách hai tâm nằm giữa hiệu và tổng hai bán kính.

Lưu ý, điều kiện d < R - r chỉ áp dụng khi R > r. Nếu không quy ước bán kính nào lớn hơn, có thể viết tổng quát là d < |R - r| cho trường hợp một đường tròn nằm trong đường tròn kia mà không tiếp xúc.

Nắm vững các điều kiện này sẽ giúp học sinh nhận biết nhanh vị trí tương đối của hai đường tròn, tránh nhầm lẫn giữa trường hợp không giao nhau và tiếp xúc nhau khi giải bài tập Toán 9.

Nếu R = r và d > 0, hai đường tròn không giao nhau chỉ khi d > 2R. Nếu d = 0 và R = r, chúng trùng nhau, có vô số điểm chung; đây không phải trường hợp không giao nhau.

Cách chứng minh hai đường tròn không giao nhau

Học sinh xác định khoảng cách hai tâm và hai bán kính, sau đó chứng minh d > R + r hoặc d < |R - r|. Nếu giả sử có điểm chung M thì bất đẳng thức tam giác cho |R - r| ≤ OO' ≤ R + r (vì OM = R, O'M = r). Vì vậy, mỗi điều kiện nghiêm ngặt trên đều loại trừ sự tồn tại của điểm chung.

Tính chất đường nối tâm khi hai đường tròn không giao nhau

Đường nối tâm là gì? Vai trò đường nối tâm

Cho hai đường tròn (O;R) và (O';r) có tâm phân biệt O và O'. Đường thẳng đi qua hai tâm O và O' được gọi là đường nối tâm. Đoạn thẳng OO' có độ dài bằng khoảng cách giữa hai tâm, ký hiệu là d = OO'.

Khi hai đường tròn có hai tâm phân biệt, đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn, bởi mỗi đường tròn đều đối xứng qua mọi đường thẳng đi qua tâm của nó. Đặc biệt, đường nối tâm giúp xác định khoảng cách giữa hai tâm, từ đó nhận biết vị trí tương đối của hai đường tròn thông qua mối quan hệ giữa OO', R + r và |R - r|. [1].

Tính chất đường nối tâm trong trường hợp không giao nhau

Khi hai tâm phân biệt, đường nối tâm vẫn là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn. Hai đường tròn không giao nhau không có dây chung và không có tiếp điểm, nên không áp dụng tính chất đường trung trực của dây chung như đối với hai đường tròn cắt nhau.

Tính chất đường nối tâm khi hai tâm phân biệt:

Lưu ý về hai đường tròn đồng tâm

Khi hai đường tròn có cùng tâm, tức O ≡ O', khoảng cách giữa hai tâm bằng OO'=0. Nếu hai bán kính khác nhau, hai đường tròn không giao nhau và đường tròn có bán kính nhỏ hơn nằm bên trong đường tròn có bán kính lớn hơn.

Trong trường hợp này, cần lưu ý rằng không có một đường nối tâm duy nhất theo nghĩa thông thường, vì hai tâm trùng nhau nên không xác định được duy nhất đường thẳng đi qua hai tâm phân biệt. Tuy nhiên, mọi đường thẳng đi qua tâm chung đều là trục đối xứng của cả hai đường tròn.

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn không giao nhau

Tiếp tuyến chung là gì?

Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng có đúng một điểm chung với đường tròn. Tiếp tuyến chung là đường thẳng tiếp xúc đồng thời với cả hai đường tròn; bán kính đi qua mỗi tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến. [1].

Phần vận dụng mở rộng: Nội dung sau sử dụng kiến thức về tiếp tuyến và định lý Pythagore để giải bài tập; học sinh cần nắm chắc điều kiện không giao nhau trước khi vận dụng.

Xét hai đường tròn (O;R) và (O';r). Nếu đường thẳng ℓ tiếp xúc với đường tròn thứ nhất tại A và tiếp xúc với đường tròn thứ hai tại B, thì ℓ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Khi đó:

\(OA\perp\ell,\quad O'B\perp\ell\)

Đối với hai đường tròn không giao nhau, số lượng và loại tiếp tuyến chung phụ thuộc vào việc hai đường tròn nằm ngoài nhau hay một đường tròn nằm bên trong đường tròn còn lại.

Phân biệt tiếp tuyến chung ngoài và tiếp tuyến chung trong

Dựa vào vị trí của tiếp tuyến so với đoạn nối tâm OO', tiếp tuyến chung được chia thành hai loại:

• Tiếp tuyến chung ngoài: Là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm OO'.

• Tiếp tuyến chung trong: Là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm OO'.

Hai loại tiếp tuyến này khác nhau ở vị trí tương đối so với đoạn nối tâm, không phải ở việc tiếp tuyến có nằm bên ngoài đường tròn hay không. Khi quan sát hình vẽ, học sinh nên xác định đoạn OO' trước, sau đó kiểm tra đường thẳng tiếp tuyến có cắt đoạn này hay không để phân loại chính xác.

Số lượng tiếp tuyến chung của hai đường tròn không giao nhau

Trường hợp 1: Hai đường tròn ngoài nhau.

Khi hai đường tròn nằm ngoài nhau, tức OO' > R + r, chúng có bốn tiếp tuyến chung, gồm hai tiếp tuyến chung ngoài và hai tiếp tuyến chung trong. Đây là trường hợp có số lượng tiếp tuyến chung lớn nhất trong các vị trí tương đối của hai đường tròn phân biệt.

Trường hợp 2: Một đường tròn đựng đường tròn kia, không tiếp xúc.

Khi một đường tròn nằm hoàn toàn bên trong đường tròn còn lại và không tiếp xúc, hai đường tròn không có tiếp tuyến chung. Thật vậy, một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nhỏ sẽ không thể đồng thời tiếp xúc với đường tròn lớn bao quanh nó trong trường hợp hai đường tròn không chạm nhau.

So sánh số lượng tiếp tuyến chung theo vị trí tương đối

Để hệ thống hóa kiến thức, học sinh có thể ghi nhớ số lượng tiếp tuyến chung trong bảng sau:

Bảng trên cho thấy số lượng tiếp tuyến chung phụ thuộc vào vị trí tương đối của hai đường tròn. Số tiếp tuyến chung được xác định bởi vị trí tương đối của hai đường tròn: ngoài nhau có 4, tiếp xúc ngoài có 3, cắt nhau có 2, tiếp xúc trong có 1, còn một đường tròn nằm trong đường tròn kia không tiếp xúc thì có 0.

Đặc biệt, cần phân biệt hai đường tròn tiếp xúc trong có một tiếp tuyến chung, trong khi hai đường tròn nằm hoàn toàn bên trong nhau nhưng không tiếp xúc thì không có tiếp tuyến chung.

Các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải

Các bài tập về vị trí tương đối của hai đường tròn thường yêu cầu xác định vị trí của hai đường tròn, tính khoảng cách giữa hai tâm, tìm bán kính hoặc vận dụng định lý Pythagore để tính độ dài liên quan đến tiếp tuyến chung.

Để giải đúng, học sinh cần xác định dữ kiện đã cho, vẽ hình minh họa khi cần thiết và lựa chọn công thức phù hợp với từng trường hợp.

Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn

Phương pháp: So sánh khoảng cách hai tâm với tổng và hiệu hai bán kính để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

Cho hai đường tròn phân biệt (O; R), (O'; r), trong đó R ≥ r > 0. Đặt d = OO'. Các điều kiện cần ghi nhớ là:

• Hai đường tròn ngoài nhau khi d > R + r.

• Đường tròn lớn đựng đường tròn nhỏ, không tiếp xúc khi d < R - r.

• Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi d = R + r.

• Hai đường tròn tiếp xúc trong khi d = R - r > 0 (do đó R > r).

• Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm khi R - r < d < R + r.

Các điều kiện này dựa trên quan hệ giữa khoảng cách hai tâm và bán kính của hai đường tròn. [1].

Các bước giải tổng quát:

• Xác định bán kính R, r và khoảng cách hai tâm d.

• Tính tổng R + r và hiệu R - r.

• So sánh d với hai giá trị trên.

• Kết luận vị trí tương đối của hai đường tròn.

Ví dụ minh họa:

Cho hai đường tròn có bán kính R = 8 cm, r = 3 cm, khoảng cách hai tâm d = 4 cm. Ta có:

\(R-r=(8-3)\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}\)

Vì d = 4 < 5 = R - r, đường tròn lớn đựng đường tròn nhỏ và hai đường tròn không giao nhau.

Dạng 2: Tính khoảng cách hai tâm hoặc bán kính khi biết vị trí tương đối

Phương pháp: Dựa vào điều kiện xác định vị trí tương đối của hai đường tròn để lập phương trình hoặc bất đẳng thức, sau đó biến đổi để tìm đại lượng cần tính.

Một số hệ thức thường dùng:

• Hai đường tròn ngoài nhau: d > R + r.

• Hai đường tròn đựng nhau, không tiếp xúc: d < R - r, với R > r.

• Hai đường tròn tiếp xúc ngoài: d = R + r.

• Hai đường tròn tiếp xúc trong: d = R - r, với R > r.

Các bước giải tổng quát:

• Xác định vị trí tương đối được đề bài cho biết.

• Chọn hệ thức tương ứng với vị trí đó.

• Thay các giá trị đã biết vào hệ thức.

• Giải phương trình hoặc bất đẳng thức để tìm đại lượng cần xác định.

• Kiểm tra điều kiện của bán kính và kết luận theo yêu cầu đề bài.

Ví dụ minh họa:

Hai đường tròn ngoài nhau có bán kính lần lượt là 6 cm và 4 cm. Điều kiện về khoảng cách hai tâm là:

\(d>(6+4)\,\mathrm{cm}=10\,\mathrm{cm}\)

Vậy khoảng cách hai tâm phải lớn hơn 10 cm. Nếu đề bài yêu cầu tìm một giá trị cụ thể của d, cần có thêm dữ kiện để xác định chính xác khoảng cách đó.

Lưu ý: Với hai đường tròn phân biệt và R > r, các điều kiện d > R + r và d < R - r là bất đẳng thức nghiêm ngặt. Dấu bằng tương ứng với tiếp xúc, không thuộc trường hợp không giao nhau.

Dạng 3: Tính độ dài tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ngoài nhau

Phương pháp: Vận dụng tính chất bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm kết hợp với định lý Pythagore để thiết lập hệ thức tính độ dài đoạn tiếp tuyến chung ngoài.

Cho hai đường tròn (O;R), (O';r) nằm ngoài nhau, với R > r > 0 và OO' = d. Gọi A, B lần lượt là các tiếp điểm của một tiếp tuyến chung ngoài với hai đường tròn. Độ dài đoạn tiếp tuyến chung ngoài AB được tính theo công thức:

\(AB=\sqrt{d^2-\left(R-r\right)^2}\)

Trong đó:

• d = OO' là khoảng cách giữa hai tâm.

• R, r là bán kính hai đường tròn, với R > r.

• AB là độ dài đoạn tiếp tuyến nằm giữa hai tiếp điểm.

Giải thích công thức: Vì AB là tiếp tuyến chung ngoài nên OA ⟂ AB, O'B ⟂ AB; hai tâm O và O' nằm cùng phía đối với AB. Với R > r, qua O' kẻ đường thẳng song song với AB, cắt OA tại H. Khi đó O'BAH là hình chữ nhật; suy ra O'H = AB và AH = O'B = r. Do đó OH = R - r. Tam giác OHO' vuông tại H có cạnh huyền OO' = d. Áp dụng định lý Pythagore:

\(AB^2+\left(R-r\right)^2=d^2\)

Suy ra:

\(AB=\sqrt{d^2-\left(R-r\right)^2}\)

Các bước giải tổng quát:

• Vẽ hình, xác định hai tâm, hai bán kính và tiếp tuyến chung ngoài.

• Xác định khoảng cách hai tâm d và hiệu hai bán kính (R - r).

• Áp dụng định lý Pythagore để lập hệ thức.

• Thay số, tính toán và ghi đơn vị độ dài.

Ví dụ minh họa: Hai đường tròn ngoài nhau có bán kính R = 7 cm, r = 2 cm, khoảng cách hai tâm d = 13 cm. Tính độ dài đoạn tiếp tuyến chung ngoài giữa hai tiếp điểm.

Áp dụng công thức:

\(\begin{aligned}AB&=\sqrt{13^2-(7-2)^2}\\&=\sqrt{169-25}\\&=12\,\mathrm{cm}\end{aligned}\)

Vậy độ dài đoạn tiếp tuyến chung ngoài giữa hai tiếp điểm là 12 cm.

Lưu ý khi giải bài tập

Để hạn chế sai sót khi làm các bài toán về vị trí tương đối của hai đường tròn, học sinh nên ghi nhớ những nguyên tắc sau:

• Vẽ hình trước khi tính: Hình vẽ giúp nhận biết hai đường tròn ngoài nhau hay đựng nhau, đồng thời xác định đúng các đoạn thẳng cần tính.

• Xác định đúng điều kiện: Phân biệt tổng hai bán kính (R + r) với hiệu hai bán kính (R - r), tránh nhầm điều kiện ngoài nhau với điều kiện đựng nhau.

• Chọn công thức phù hợp: Chỉ sử dụng công thức tính tiếp tuyến chung ngoài khi đã xác định đúng cấu hình hình học và các đại lượng tương ứng.

• Kiểm tra kết quả: Độ dài phải không âm, có đơn vị phù hợp và thỏa mãn dữ kiện ban đầu.

Tóm lại, ba dạng bài tập trên giúp học sinh củng cố kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn, rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số và vận dụng định lý Pythagore trong hình học. Việc kết hợp giữa nhận dạng điều kiện, vẽ hình và trình bày từng bước lập luận sẽ giúp quá trình giải toán chính xác, rõ ràng hơn.

Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Các bài tập về hai đường tròn không giao nhau giúp học sinh củng cố điều kiện xác định vị trí tương đối, vận dụng tính chất tiếp tuyến chung và kết hợp kiến thức về dây cung với định lý Pythagore. Các bài tập dưới đây được sắp xếp theo mức độ từ cơ bản đến nâng cao, phù hợp để ôn tập kiến thức Toán 9.

Bài tập 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (mức cơ bản)

Đề bài: Cho hai đường tròn (O;7 cm) và (O';3 cm), biết OO' = 11 cm. Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn và số điểm chung của chúng.

Phương pháp: So sánh khoảng cách hai tâm với tổng hai bán kính. Theo điều kiện vị trí tương đối của hai đường tròn, nếu OO' > R + r, hai đường tròn nằm ngoài nhau và không có điểm chung.

Lời giải:

Bước 1. Xác định các dữ kiện:

\(\begin{aligned}R&=7\,\mathrm{cm},\quad r=3\,\mathrm{cm}\\OO'&=11\,\mathrm{cm}\end{aligned}\)

Bước 2. Tính tổng hai bán kính:

\(R+r=(7+3)\,\mathrm{cm}=10\,\mathrm{cm}\)

Bước 3. So sánh khoảng cách hai tâm với tổng hai bán kính:

\(OO'=11\,\mathrm{cm}>10\,\mathrm{cm}=R+r\)

Bước 4. Kết luận

Vì OO' > R + r, hai đường tròn nằm ngoài nhau. Do đó, chúng không có điểm chung.

Đáp số: Hai đường tròn ngoài nhau, có 0 điểm chung.

Bài tập 2: Tìm bán kính để đường tròn nhỏ nằm trong đường tròn lớn

Đề bài: Cho hai đường tròn (O; 12 cm) và (I; r), với OI = 4 cm và 0 < r < 12 cm. Tìm điều kiện của r để hai đường tròn không giao nhau.

Lời giải: Vì OI = 4 cm < 12 cm + r, hai đường tròn không thể nằm ngoài nhau. Do 12 cm > r, để không giao nhau, đường tròn (O; 12 cm) phải đựng đường tròn (I; r), không tiếp xúc:

4 cm < 12 cm - r.

\(r<8\,\mathrm{cm}\)

Kết hợp với điều kiện bán kính dương, ta được 0 < r < 8 cm. Nếu r = 8 cm thì hai đường tròn tiếp xúc trong, nên loại giá trị này.

Bài tập 3: Tính độ dài đoạn tiếp tuyến chung ngoài (vận dụng mở rộng)

Đề bài: Cho hai đường tròn ngoài nhau (O; 6 cm) và (O'; 2 cm), biết OO' = 10 cm. Gọi AB là đoạn tiếp tuyến chung ngoài nằm giữa hai tiếp điểm. Tính độ dài AB.

Phương pháp: Kẻ bán kính đi qua các tiếp điểm. Sử dụng tính chất bán kính vuông góc với tiếp tuyến và định lý Pythagore để thiết lập công thức tính độ dài tiếp tuyến chung ngoài.

Lời giải:

Bước 1. Xác định các dữ kiện:

\(\begin{aligned}R&=6\,\mathrm{cm},\quad r=2\,\mathrm{cm}\\OO'&=10\,\mathrm{cm}\end{aligned}\)

Gọi A, B lần lượt là các tiếp điểm của tiếp tuyến chung ngoài với hai đường tròn. Khi đó, bán kính đi qua tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến.

Bước 2. Áp dụng hệ thức Pythagore.

Với hai đường tròn ngoài nhau, độ dài đoạn tiếp tuyến chung ngoài được tính theo công thức:

\(AB=\sqrt{(OO')^2-\left(R-r\right)^2}\)

Bước 3. Thay số và tính toán:

\(\begin{aligned}AB&=\sqrt{10^2-(6-2)^2}\\&=\sqrt{84}\\&=2\sqrt{21}\,\mathrm{cm}\end{aligned}\)

Bước 4. Kết luận.

Vậy độ dài đoạn tiếp tuyến chung ngoài là:

\(\begin{aligned}AB&=2\sqrt{21}\,\mathrm{cm}\\&\approx9{,}17\,\mathrm{cm}\end{aligned}\)

Lưu ý: Khi giải bài toán này, cần phân biệt hiệu hai bán kính R - r với tổng hai bán kính R + r. Đối với tiếp tuyến chung ngoài, công thức sử dụng bình phương hiệu hai bán kính.

Bài tập 4: Hai đường tròn đồng tâm và dây cung của đường tròn lớn (vận dụng mở rộng)

Đề bài: Cho hai đường tròn đồng tâm O, có bán kính lần lượt là R = 10 cm và r = 6 cm. Dây cung AB của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại H. Tính độ dài dây cung AB.

Kiến thức vận dụng: Tính chất bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm, đường vuông góc kẻ từ tâm đến dây cung và định lý Pythagore.

Phương pháp: Vì AB tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại H, bán kính OH vuông góc với AB. Mặt khác, trong một đường tròn, đường vuông góc kẻ từ tâm đến một dây cung sẽ đi qua trung điểm của dây cung đó. Từ đây, ta có thể xác định nửa dây cung bằng định lý Pythagore.

Lời giải:

Bước 1. Xác định các yếu tố đã biết.

Hai đường tròn đồng tâm nên cùng có tâm O. Ta có:

\(OA=10\,\mathrm{cm},\quad OH=6\,\mathrm{cm}\)

Vì AB tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại H, suy ra:

\(OH\perp AB\)

Bước 2. Chứng minh H là trung điểm của AB.

Trong đường tròn lớn, OH vuông góc với dây cung AB. Theo tính chất đường vuông góc kẻ từ tâm đến dây cung, H là trung điểm của AB.

Do đó:

\(AH=HB=\frac{AB}{2}\)

Bước 3. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OHA.

Vì tam giác OHA vuông tại H, ta có:

\(OA^2=OH^2+AH^2\)

Suy ra:

\(\begin{aligned}AH^2&=OA^2-OH^2\\&=10^2-6^2\\&=64\end{aligned}\)

Vì độ dài đoạn thẳng dương nên AH = 8 cm.

Bước 4. Tính độ dài dây cung AB.

Do H là trung điểm của AB, ta được:

\(AB=2AH=2\times8=16\,\mathrm{cm}\)

Kết luận:

\(AB=16\,\mathrm{cm}\)

Nhận xét: Bài toán cho thấy mối liên hệ giữa hai đường tròn đồng tâm và dây cung của đường tròn lớn. Khi một dây cung của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ, khoảng cách từ tâm đến dây cung bằng bán kính đường tròn nhỏ. Từ đó, độ dài dây cung được xác định bằng định lý Pythagore:

\(AB=2\sqrt{R^2-r^2}\)

Công thức trên áp dụng khi R > r > 0 và đường thẳng chứa dây cung của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ.

Hai đường tròn không giao nhau không có điểm chung, gồm hai trường hợp: ngoài nhau khi (OO' > R + r) và đựng nhau khi (OO' < |R-r|). Nắm vững điều kiện nhận biết, tính chất đường nối tâm và số lượng tiếp tuyến chung giúp học sinh vận dụng đúng vào các dạng bài tập. Người học có thể củng cố kiến thức hình học tại chuyên mục Toán 9.